Exercício 5.

(a) Considere o sinal x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\) dado por \[x[k]= \begin{cases}k, & \text { se } k \in\{0,1,2, \ldots, 10\} \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
Caso exista, qual é a energia do sinal x\] ? (b) Seja \(x_{d} o sinal resultante da decimação do sinal x por um fator M. Qual é a expressão da energia do sinal x_{d} em função de M ?
(c) Considere M inteiro positivo. É possível um sinal decimado por um fator M ter a mesma energia do que o sinal original? Se sim, mostre um exemplo explicíto. Caso contrário, explique o porquê.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia de um sinal discreto finito e, em seguida, a energia do sinal resultante de uma decimação por um fator M\). O conceito de energia de um sinal discreto \(x[k]\) é \[E = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \bigl|x[k]\bigr|^2.
Para o sinal dado
x[k]= \begin{cases} k, & k\in\{0,1,2,\dots,10\},\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
vamos usar essa definição. Depois, para o sinal decimado (x_d[n]=x[nM]], usaremos a mesma soma, identificando os índices não nulos.

Passo 2

Para o sinal original x[k] só há valores não nulos em k=0,1,\dots,10. Logo
E =\sum_{k=-\infty}^{\infty}|x[k]|^2 =\sum_{k=0}^{10}k^2.
Usando a fórmula da soma dos quadrados dos primeiros N inteiros,
\sum_{k=0}^{N}k^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6},
com N=10 obtemos
E =\frac{10\cdot11\cdot21}{6} =385.

Passo 3

Para o sinal decimado x_d[n]=x[nM], a energia é
E_d =\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x_d[n]|^2 =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\bigl|x[nM]\bigr|^2.
Como x[k]\neq0 apenas para 0\le k\le10, só nos interessam os n tais que nM\in\{0,1,\dots,10\}. Portanto
E_d =\sum_{n=0}^{\lfloor10/M\rfloor}(nM)^2.

Passo 4

Para ver quando E_d=E, compare:
  • Se M=1, então \lfloor10/1\rfloor=10 e
E_d=\sum_{n=0}^{10}n^2=385=E.
  • Se M>1, então \lfloor10/M\rfloor<10 e a soma em E_d tem menos termos que em E, logo E_d< E.
Assim, a única forma de não perder energia é não descamar nada, ou seja, M=1.

Resposta

(a) 385.
(b) \displaystyle E_d(M)=\sum_{n=0}^{\lfloor10/M\rfloor}(nM)^2.
(c) Sim: para M=1 o sinal decimado é o próprio sinal e sua energia permanece 385. Para qualquer M>1 perde-se amostras não nulas, logo E_d<E.

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