Exercício 4. O controle remoto de um ar-condicionado exibia inicialmente a temperatura de referência (isto é, a temperatura desejada) em 17^{\circ} \mathrm{C}. O botão para aumentar a temperatura em 1^{\circ} \mathrm{C} foi pressionado cinco vezes consecutivas, com um intervalo de 0,25 \mathrm{~s} entre cada acionamento. Essa temperatura de referência é amostrada por um conversor ADC cujo tempo de amostragem é de 0,5 \mathrm{~s}. Com base nessas informações, responda às seguintes questões:
  1. Esboce graficamente o sinal de referência de temperatura antes da amostragem.
  2. Esboce graficamente o sinal de referência de temperatura depois da amostragem.
  3. É possível achar números reais a_{k} tais que a expressão seja válida?
x_{r}[n]=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} u[n-k]

Passo 1

O controle começa em \,17^\circ\mathrm{C} e recebe cinco incrementos de +1^\circ\mathrm{C} a cada 0,25\\ \mathrm{s}. Vamos assumir que o primeiro “click” ocorre em t=0, e os seguintes em t=0{,}25, 0{,}50, 0{,}75 e 1{,}00\\ \mathrm{s}. Entre e depois desses instantes a referência fica constante. Além disso, o ADC amostra a cada T_s=0{,}5\\ \mathrm{s}. Precisamos:
  1. Desenhar x_r(t) contínuo antes da amostragem.
  2. Desenhar x_r[n]=x_r(nT_s).
  3. Verificar se existe representação
x_r[n]=\sum_{k=0}^\infty a_k\,u[n-k]
com a_k\in\mathbb R.

Passo 2

O sinal analógico x_r(t) é um degrau em escada:
– Para t<0: x_r(t)=17.
– Em t=0: salta para 18 e fica constante até t=0{,}25.
– Em t=0{,}25: salta para 19 e mantém até 0{,}50.
– Em t=0{,}50: salta para 20 até 0{,}75.
– Em t=0{,}75: vai para 21 até 1{,}00.
– Em t=1{,}00: salta para 22 e daí em diante fica em 22.
Essas alturas são retas horizontais ligadas por saltos instantâneos nos instantes dados.

Passo 3

A amostragem com T_s=0{,}5\\ \mathrm{s} pega valores em t=nT_s:
n=0\Rightarrow t=0, x_r[0]=18.
n=1\Rightarrow t=0{,}5, x_r[1]=20.
n=2\Rightarrow t=1{,}0, x_r[2]=22.
– Para n\ge3, t\ge1{,}5 e x_r[n]=22.
Logo o sinal discreto é
x_r[n]=\bigl\{18,\,20,\,22,\,22,\,22,\dots\bigr\}.

Passo 4

Qualquer sequência causal x_r[n] pode ser escrita como soma de degraus deslocados com coeficientes a_k, onde
a_0 = x_r[0],\quad a_k = x_r[k] - x_r[k-1]\quad(\forall k\ge1).
De fato,
\sum_{k=0}^\infty a_k\,u[n-k] = \sum_{k=0}^n (x_r[k]-x_r[k-1]) = x_r[n]\quad(\text{com }x_r[-1]=0).
Para nosso x_r[n]:
a_0 = 18,\; a_1 = 20-18=2,\; a_2 = 22-20=2,\; a_{k\ge3}=22-22=0.

Resposta

  1. Sinal analógico em escada: \,17\to18 em t=0, depois 19 em 0{,}25, 20 em 0{,}50, 21 em 0{,}75, e 22 em 1{,}00, com retas horizontais entre eles.
  2. Sinal amostrado: x_r[n]=\{18,20,22,22,\dots\} em n=0,1,2,\dots.
  3. Sim. Basta tomar
a_0=18,\quad a_1=2,\quad a_2=2,\quad a_{k\ge3}=0,
pois então
x_r[n]=\sum_{k=0}^\infty a_k\,u[n-k].

Exercícios relacionados