O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(2x-y,\,-x+2y).
Pede-se determinar uma base para cada um destes subespaços:
W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=3(x,y)\},
U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(x,y)\}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
A ação de T está explicitada coordenada a coordenada.
W é o conjunto de vetores que são escalados por 3 por T (autovetores associados ao autovalor 3).
U é o conjunto de vetores que são fixos por T (autovetores associados ao autovalor 1).
As perguntas específicas são: encontrar uma base de W e uma base de U.
Passo 2
Escrever T como matriz na base canônica torna a conta mais direta. A matriz A associada a T é obtida vendo T aplicada aos vetores-canônicos. Logo
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
Isto significa que, para v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, temos T(x,y)=Av.
Passo 3
Explicar o procedimento para encontrar os vetores em W e U. Procuramos vetores não nulos v tais que
Av=\lambda v,
onde \lambda é o autovalor correspondente (\lambda=3 para W e \lambda=1 para U). Essa igualdade é equivalente a
(A-\lambda I)v=0.
Para existirem soluções não-triviais, \det(A-\lambda I)=0. Assim devemos obter os autovalores resolvendo o polinômio característico, e depois resolver o sistema homogêneo (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.
Como base de W basta um vetor não-nulo nessa direção. Escolhemos, por simplicidade, \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} (que é múltiplo de \begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}). Verificação rápida: aplicando T em \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} obtemos
T(1,-1)=(3,-3)=3(1,-1),
logo está correto.
Passo 6
Encontrar uma base de U (autovalor \lambda=1). Resolvemos
Uma base conveniente para U é \{\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}\}. Verificação: T(1,1)=(1,1)=1\cdot(1,1).
Passo 7
Comentário sobre linearidade e dimensão: cada um dos subespaços W e U é um subespaço unidimensional (linha própria), gerado pelo respectivo autovetor encontrado. Um único vetor não-nulo nesses casos forma uma base. Lembre-se: a base não pode conter o vetor nulo e deve ser linearmente independente — um vetor não-nulo sozinho satisfaz isso.
Resposta
Base de W: \left\{\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}\right\}
\n
Base de U: \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}\right\}