Exercício 8. Considere ( V,+, \cdot ) um espaço vetorial real munido do produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle. Encontrar as normas dos vetores u, v e o cosseno do ângulo entre eles nos seguintes casos:
V=\mathbb{R}^{4},\langle\cdot, \cdot\rangle produto interno usual, u=(1,1,1,1) e v=(-1,0,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede, em \mathbb{R}^4 com o produto interno usual, para os vetores
u=(1,1,1,1),\quad v=(-1,0,1,-1),
as normas \|u\|, \|v\| e o cosseno do ângulo entre eles. Vamos usar a definição de norma em espaço com produto interno e a fórmula do cosseno:
\|w\|=\sqrt{\langle w,w\rangle}, \qquad \cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}.

Passo 2

Para calcular as normas de u e v usamos a definição \|w\|=\sqrt{\langle w,w\rangle}. Assim,
\|u\| = \sqrt{\langle u,u\rangle} = \sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2} = \sqrt{4} = 2
\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle} = \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{3}

Passo 3

Para o cosseno do ângulo, usamos
\displaystyle \cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\|v\|}. Primeiro calculamos o produto interno:
\langle u,v\rangle = (1)(-1)+(1)(0)+(1)(1)+(1)(-1) = -1
Logo,
\cos\theta = \frac{-1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{6}.

Resposta

\|u\| = 2, \|v\| = \sqrt{3} e \cos\theta = -\tfrac{1}{2\sqrt{3}} = -\tfrac{\sqrt{3}}{6}.

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