Exercício 8. Considere ( V,+, \cdot ) um espaço vetorial real munido do produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle. Encontrar as normas dos vetores u, v e o cosseno do ângulo entre eles nos seguintes casos:
V=\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}),\langle\cdot, \cdot\rangle o produto interno do Exercício 4 acima, u(t)=1+t-t^{2} e v(t)=3 t^{2}, para t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as normas de u(t)=1+t-t^{2} e v(t)=3t^{2} em \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) e o cosseno do ângulo entre eles, usando o produto interno definido no “Exercício 4 acima”. Para isso, precisaríamos da fórmula explícita desse produto interno (por exemplo, \langle p,q\rangle=\int_{a}^{b}p(t)\,q(t)\,dt ou similar).

Passo 2

Como o enunciado não informa qual é exatamente esse produto interno (os limites de integração ou qualquer outro detalhe do “Exercício 4”), não há dados suficientes para calcular \langle u,u\rangle, \langle v,v\rangle e \langle u,v\rangle. Sem esses valores, não podemos obter \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}, \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} nem
\cos\theta =\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.

Resposta

Não é possível resolver o exercício pois não foi fornecida a definição explícita do produto interno do “Exercício 4”.

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