Exercício 8. Considere ( V,+, \cdot ) um espaço vetorial real munido do produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle. Encontrar as normas dos vetores u, v e o cosseno do ângulo entre eles nos seguintes casos:
V=M_{2}(\mathbb{R}),\langle\cdot, \cdot\rangle o produto interno do Exercício 6 acima, A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -1 & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar em V = M_{2}(\mathbb{R}) equipado com o produto interno do Exercício 6, que é o produto de Frobenius
\langle X, Y\rangle \;=\;\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}x_{ij}\,y_{ij},
e calcular para os vetores (matrizes)
u = A = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ -1 & 1\end{pmatrix}, \quad v = B = \begin{pmatrix}-1 & 1\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
as normas \|u\|, \|v\| e o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Lembrando que, em qualquer espaço com produto interno, valem
\|X\| = \sqrt{\langle X,X\rangle} \qquad\text{e}\qquad \cos\theta = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\;\|v\|}.
Aqui usaremos essas fórmulas com u=A e v=B.

Passo 3

Calculemos primeiro
\langle A,A\rangle =1^2 +0^2 +(-1)^2 +1^2 =1+0+1+1 =3,
logo
\|A\| = \sqrt{3}.
De modo análogo,
\langle B,B\rangle =(-1)^2 +1^2 +0^2 +1^2 =1+1+0+1 =3,
portanto
\|B\| = \sqrt{3}.

Passo 4

Agora o produto interno entre A e B:
\langle A,B\rangle =1\cdot(-1) + 0\cdot1 + (-1)\cdot0 + 1\cdot1 =-1 +0 +0 +1 =0.
Logo o cosseno do ângulo é
\cos\theta =\frac{\langle A,B\rangle}{\|A\|\;\|B\|} =\frac{0}{\sqrt{3}\,\sqrt{3}} =0.

Resposta

\|u\| = \|A\| = \sqrt{3},
\|v\| = \|B\| = \sqrt{3},
\cos\theta = 0.

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