Exercício 5: Considere os vetores \vec{a}=(1,0,2), \vec{b}=(2,-1,3) e \vec{c}=(4,1,8) escritos na base canônica. Encontre um terceiro vetor \vec{w} que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:
\vec{w} \bullet \vec{a}=5, \vec{w} \bullet \vec{b}=8, \vec{w} \perp \vec{c}

Passo 1

O enunciado dá os vetores escritos na base canônica:
  • \vec{a}=(1,0,2)
  • \vec{b}=(2,-1,3)
  • \vec{c}=(4,1,8)
O que se pede: encontrar um vetor \vec{w} que satisfaça simultaneamente três condições:
  • \vec{w}\bullet\vec{a}=5
  • \vec{w}\bullet\vec{b}=8
  • \vec{w}\perp\vec{c} (ou seja, \vec{w}\bullet\vec{c}=0)
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado): as coordenadas de \vec{a},\vec{b},\vec{c} acima e os valores escalares 5 e 8 para os produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, uma palavrinha sobre produto escalar (para ficar claro como montar equações). Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
E \vec{u}\perp\vec{v} significa exatamente \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Agora suponha que o vetor desconhecido seja \vec{w}=(x,y,z), com x,y,z as componentes que precisamos achar. Aplicando a definição do produto escalar às três condições temos o sistema de equações lineares (cada linha vem de um produto escalar):
\begin{cases} \vec{w}\cdot\vec{a}=x\cdot 1 + y\cdot 0 + z\cdot 2 =5,\\[4pt] \vec{w}\cdot\vec{b}=x\cdot 2 + y\cdot(-1) + z\cdot 3 =8,\\[4pt] \vec{w}\cdot\vec{c}=x\cdot 4 + y\cdot 1 + z\cdot 8 =0. \end{cases}
Simplificando cada equação:
\begin{cases} x + 2z = 5,\\[4pt] 2x - y + 3z = 8,\\[4pt] 4x + y + 8z = 0. \end{cases}]

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começo isolando x na primeira equação porque ela é bem simples:
x + 2z = 5 \quad\Rightarrow\quad x = 5 - 2z.
Isto significa que qualquer solução tem x expresso em função de z. Agora substituo x nas outras duas equações.

Passo 4

Substituindo x=5-2z na segunda equação 2x - y + 3z = 8:
2(5-2z) - y + 3z = 8.
Faço as operações passo a passo:
10 - 4z - y + 3z = 8 \quad\Rightarrow\quad -y + ( -4z + 3z ) + 10 = 8.
- y - z + 10 = 8 \quad\Rightarrow\quad -y - z = -2 \quad\Rightarrow\quad y + z = 2.
Portanto obtemos a relação
y = 2 - z.

Passo 5

Agora substituo x=5-2z na terceira equação 4x + y + 8z = 0:
4(5-2z) + y + 8z = 0.
Calculo:
20 - 8z + y + 8z = 0 \quad\Rightarrow\quad 20 + y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -20.
Temos agora y=-20. Mas na etapa anterior achamos y = 2 - z. Igualando as duas expressões para y:
2 - z = -20 \quad\Rightarrow\quad -z = -22 \quad\Rightarrow\quad z = 22.
Com z=22 voltamos a x = 5 - 2z:
x = 5 - 2\cdot 22 = 5 - 44 = -39.
Resumo das componentes encontradas:
x = -39,\qquad y = -20,\qquad z = 22.

Passo 6

Vamos checar rapidinho para ter certeza (sempre bom fazer na prova):
  • \vec{w}\cdot\vec{a} = (-39)\cdot 1 + (-20)\cdot 0 + 22\cdot 2 = -39 + 44 = 5. OK.
  • \vec{w}\cdot\vec{b} = 2(-39) -(-20) + 3\cdot 22 = -78 + 20 + 66 = 8. OK.
  • \vec{w}\cdot\vec{c} = 4(-39) + (-20) + 8\cdot 22 = -156 -20 +176 = 0. OK.
Tudo confere, então encontramos corretamente \vec{w}.

Resposta

\vec{w}=(-39,-20,22)

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