Exercício 5: Considere os vetores \vec{a}=(1,0,2), \vec{b}=(2,-1,3) e \vec{c}=(4,1,8) escritos na base canônica. Encontre um terceiro vetor \vec{w} que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado): as coordenadas de \vec{a},\vec{b},\vec{c} acima e os valores escalares 5 e 8 para os produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, uma palavrinha sobre produto escalar (para ficar claro como montar equações). Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
E \vec{u}\perp\vec{v} significa exatamente \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Agora suponha que o vetor desconhecido seja \vec{w}=(x,y,z), com x,y,z as componentes que precisamos achar. Aplicando a definição do produto escalar às três condições temos o sistema de equações lineares (cada linha vem de um produto escalar):