Prove que f(x)=\frac{1}{x} é contínua e derivável em todo x \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\frac{1}{x}
com domínio (-\infty,0)\cup(0,+\infty). O que se pede:
  • Mostrar que f é contínua em todo ponto x do domínio, isto é, para cada ponto a com a\neq 0 devemos provar \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Mostrar que f é derivável em todo ponto x do domínio, isto é, para cada ponto a com a\neq 0 devemos provar que o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
existe (e encontrar seu valor).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f(x) e o domínio onde a prova deve valer.

Passo 2

Definições e ideias principais (mini-aula rápida e informal).
  • Continuidade em um ponto a. Por definição, f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-a|<\delta e x está no domínio, temos |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Aqui \varepsilon é a tolerância no valor de f e \delta é a tolerância na variável x. A estratégia padrão é, dado \varepsilon, encontrar um \delta que dependa de a e de \varepsilon e que garanta a desigualdade.
  • Derivada em um ponto a. Por definição, f é derivável em a se o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
existe (é finito). Esse limite é a derivada f'(a). Na prática costuma-se manipular a expressão do quociente incremental para simplificá-la e então aplicar regras de limite (como que se g(h)\to L e h\to0 então \lim g(h) é L, e se uma função é contínua num ponto, pode-se substituir a aproximação).
Vou provar continuidade primeiro (usando epsilon-delta), depois derivabilidade (usando a definição do limite do quociente incremental).

Passo 3

Prova de continuidade em um ponto arbitrário a com a\neq 0.
Queremos: para todo \varepsilon>0 encontrar \delta>0 tal que, para todo x com |x-a|<\delta (e x no domínio), tem-se |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Calculemos a diferença em valor absoluto:
\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right| = \left|\frac{a-x}{ax}\right| = \frac{|x-a|}{|a||x|}.
Esse é o ponto-chave: a diferença é proporcional a |x-a|, mas dividida por |x| (e por |a|). Para controlar |x-a|/(|a||x|) precisamos de um limite inferior para |x| quando x estiver perto de a. Como a\neq 0, existe uma vizinhança de a onde x também não é zero e em que |x| é, pelo menos, metade de |a|. Especificamente, se escolhermos
\delta_1=\frac{|a|}{2},
então sempre que |x-a|<\delta_1 teremos
|x| \ge |a|-|x-a| > |a|-\frac{|a|}{2}=\frac{|a|}{2}.
Portanto, para tais x,
\frac{1}{|x|}\le \frac{2}{|a|}.
Usando isso na expressão anterior obtemos, quando |x-a|<\delta_1,
\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right| = \frac{|x-a|}{|a||x|} \le \frac{|x-a|}{|a|}\cdot\frac{2}{|a|} = \frac{2}{|a|^2}\,|x-a|.
Agora fixe um \varepsilon>0. Para garantir \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right|<\varepsilon basta pedir
\frac{2}{|a|^2}\,|x-a|<\varepsilon,
ou seja
|x-a|<\frac{|a|^2}{2}\,\varepsilon.
Portanto, tomando
\delta=\min\!\left(\frac{|a|}{2},\\ \frac{|a|^2}{2}\varepsilon\right),
temos: se |x-a|<\delta então |x-a|<\delta_1=\frac{|a|}{2} (logo a estimativa do denominador vale) e |x-a|<\frac{|a|^2}{2}\varepsilon (logo a última desigualdade dá o \varepsilon desejado). Assim |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Isso mostra que, para o ponto arbitrário a\neq 0, a condição de continuidade é satisfeita.

Passo 4

Conclusão da parte de continuidade.
Como a foi arbitrário em (-\infty,0)\cup(0,+\infty), a prova acima vale para todo ponto do domínio. Logo f(x)=\dfrac{1}{x} é contínua em todo x de (-\infty,0)\cup(0,+\infty).

Passo 5

Prova de derivabilidade em um ponto arbitrário a com a\neq 0.
Usamos a definição da derivada como limite do quociente incremental:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}.
Manipulando algebricamente (atenção aos passos, para não perder o fio):
\frac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h} = \frac{\dfrac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{\dfrac{-h}{a(a+h)}}{h} = -\frac{1}{a(a+h)}.
Portanto, para todo h tal que a+h\neq 0 (ou seja h suficientemente pequeno), o quociente incremental vale -1/(a(a+h)).
Agora aplicamos o limite quando h\to 0. Observando que a+h\to a quando h\to 0, e que as operações algébricas (produto e recíproco) são contínuas onde o denominador é não nulo, segue que
\lim_{h\to 0}\left(-\frac{1}{a(a+h)}\right) = -\frac{1}{a\cdot a} = -\frac{1}{a^{2}}.
Como esse limite existe e é finito, a derivada f'(a) existe e vale -1/a^{2}.

Passo 6

Conclusão da parte de derivabilidade.
O ponto a foi arbitrário em (-\infty,0)\cup(0,+\infty). Logo a mesma conta vale para qualquer ponto do domínio, mostrando que f é derivável em todo x do domínio e que a derivada é dada por f'(x)=-1/x^{2}.
Um comentário de incentivo: apesar de o fluxo de manipulação algébrica parecer um truque, a receita é sempre essa — simplificar o quociente incremental e usar que a\neq 0 para evitar divisões por zero. Dá pra fazer isso na prova rapidinho se decorar o padrão.

Resposta

f é contínua em todo x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty).\n f é derivável em todo x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty) e f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}.

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