Prove que f(x)=\frac{1}{x} é contínua e derivável em todo x \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty).
Passo 1
O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\frac{1}{x}
com domínio (-\infty,0)\cup(0,+\infty). O que se pede:
Mostrar que f é contínua em todo ponto x do domínio, isto é, para cada ponto a com a\neq 0 devemos provar \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Mostrar que f é derivável em todo ponto x do domínio, isto é, para cada ponto a com a\neq 0 devemos provar que o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
existe (e encontrar seu valor).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de f(x) e o domínio onde a prova deve valer.
Passo 2
Definições e ideias principais (mini-aula rápida e informal).
Continuidade em um ponto a. Por definição, f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-a|<\delta e x está no domínio, temos |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Aqui \varepsilon é a tolerância no valor de f e \delta é a tolerância na variável x. A estratégia padrão é, dado \varepsilon, encontrar um \delta que dependa de a e de \varepsilon e que garanta a desigualdade.
Derivada em um ponto a. Por definição, f é derivável em a se o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
existe (é finito). Esse limite é a derivada f'(a). Na prática costuma-se manipular a expressão do quociente incremental para simplificá-la e então aplicar regras de limite (como que se g(h)\to L e h\to0 então \lim g(h) é L, e se uma função é contínua num ponto, pode-se substituir a aproximação).
Vou provar continuidade primeiro (usando epsilon-delta), depois derivabilidade (usando a definição do limite do quociente incremental).
Passo 3
Prova de continuidade em um ponto arbitrário a com a\neq 0.
Queremos: para todo \varepsilon>0 encontrar \delta>0 tal que, para todo x com |x-a|<\delta (e x no domínio), tem-se |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Esse é o ponto-chave: a diferença é proporcional a |x-a|, mas dividida por |x| (e por |a|). Para controlar |x-a|/(|a||x|) precisamos de um limite inferior para |x| quando x estiver perto de a. Como a\neq 0, existe uma vizinhança de a onde x também não é zero e em que |x| é, pelo menos, metade de |a|. Especificamente, se escolhermos
temos: se |x-a|<\delta então |x-a|<\delta_1=\frac{|a|}{2} (logo a estimativa do denominador vale) e |x-a|<\frac{|a|^2}{2}\varepsilon (logo a última desigualdade dá o \varepsilon desejado). Assim |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Isso mostra que, para o ponto arbitrário a\neq 0, a condição de continuidade é satisfeita.
Passo 4
Conclusão da parte de continuidade.
Como a foi arbitrário em (-\infty,0)\cup(0,+\infty), a prova acima vale para todo ponto do domínio. Logo f(x)=\dfrac{1}{x} é contínua em todo x de (-\infty,0)\cup(0,+\infty).
Passo 5
Prova de derivabilidade em um ponto arbitrário a com a\neq 0.
Usamos a definição da derivada como limite do quociente incremental:
Portanto, para todo h tal que a+h\neq 0 (ou seja h suficientemente pequeno), o quociente incremental vale -1/(a(a+h)).
Agora aplicamos o limite quando h\to 0. Observando que a+h\to a quando h\to 0, e que as operações algébricas (produto e recíproco) são contínuas onde o denominador é não nulo, segue que
Como esse limite existe e é finito, a derivada f'(a) existe e vale -1/a^{2}.
Passo 6
Conclusão da parte de derivabilidade.
O ponto a foi arbitrário em (-\infty,0)\cup(0,+\infty). Logo a mesma conta vale para qualquer ponto do domínio, mostrando que f é derivável em todo x do domínio e que a derivada é dada por f'(x)=-1/x^{2}.
Um comentário de incentivo: apesar de o fluxo de manipulação algébrica parecer um truque, a receita é sempre essa — simplificar o quociente incremental e usar que a\neq 0 para evitar divisões por zero. Dá pra fazer isso na prova rapidinho se decorar o padrão.
Resposta
f é contínua em todo x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty).\nf é derivável em todo x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty) e f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}.