Exercício 6 Considere X \sim U(-1,+1). Obtenha a f.d.a e a f.d.p de Y=X^{2}.

Passo 1

O enunciado dá que X é uniforme no intervalo (-1,1), isto é X\sim U(-1,1), e define Y=X^{2}.
As perguntas são: obter a f.d.a. (função distribuição acumulada) de Y e obter a f.d.p. (função densidade de probabilidade) de Y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A densidade de X é constante em (-1,1).
  • A transformação Y=X^{2} leva valores de X para [0,1].
  • A transformação x\mapsto x^{2} não é monótona em (-1,1) (tem duas raízes \pm\sqrt{y} para cada y\in(0,1)), então devemos ter cuidado ao transformar densidades.

Passo 2

Primeira ideia (método do CDF): para qualquer y vale
F_{Y}(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(X^{2}\le y).
Essa é uma abordagem segura quando a transformação não é monotônica: expressa-se o evento \{X^{2}\le y\} em termos de X e integra-se a densidade de X sobre a pré-imagem.
Segunda ideia (método das raízes / mudança de variável para PDF): quando y é tal que a equação x^{2}=y tem raízes x_{i} distintas, existe a fórmula
f_{Y}(y)=\sum_{i}\frac{f_{X}(x_{i})}{\left|g'(x_{i})\right|},
onde g(x)=x^{2} e g'(x)=2x. Vou usar primeiro o método do CDF e depois mostrar que a fórmula das raízes dá o mesmo resultado (útil para ver como proceder em provas).
Lembrete da densidade de X: como X\sim U(-1,1),
f_{X}(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}, & -1<x<1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Passo 3

Calcular F_{Y}(y) por casos de y:
  • Se y<0: como Y=X^{2}\ge 0 sempre, tem-se
F_{Y}(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=0.
  • Se y\ge 1: como X^{2}\le 1 para todo x\in[-1,1], tem-se
F_{Y}(y)=1.
  • Se 0\le y\le 1: o evento X^{2}\le y é equivalente a |X|\le\sqrt{y}, ou seja -\sqrt{y}\le X\le\sqrt{y}. Assim
F_{Y}(y)=\mathbb{P}(-\sqrt{y}\le X\le\sqrt{y}).
Como f_{X}(x)=\tfrac{1}{2} em (-1,1), calculamos a probabilidade integrando:
F_{Y}(y)=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\bigl(2\sqrt{y}\bigr)=\sqrt{y}.
Portanto, concluímos que para 0\le y\le 1 vale F_{Y}(y)=\sqrt{y}.
Juntando os casos:
F_{Y}(y)=\begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] \sqrt{y}, & 0\le y\le 1,\\[4pt] 1, & y>1. \end{cases}]

Passo 4

Obter a densidade f_{Y}\) derivando \(F_{Y}\) onde for diferenciável. Para \(0<y<1\), \[f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}\bigl(\sqrt{y}\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{y}}.
Fora do intervalo (0,1) a densidade é zero (no sentido de função densidade, pontos isolados não importam). Assim
f_{Y}(y)=\begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{y}}, & 0<y<1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Observação sobre y=0\]: a densidade diverge quando \(y\to 0^{+}, mas isso é aceitável; a função é integrável no intervalo (0,1) como veremos no passo seguinte.]

Passo 5

Verificação rápida de normalização (para ficar seguro e mostrar que está correto):
\int_{0}^{1}\frac{1}{2\sqrt{y}}\,dy=\left[\sqrt{y}\right]_{0}^{1}=1-0=1,
portanto f_{Y} é uma densidade válida.
Complemento (checando com o método das raízes): para y\in(0,1) as raízes de x^{2}=y são x_{1}=\sqrt{y} e x_{2}=-\sqrt{y}. Aplicando a fórmula
f_{Y}(y)=\frac{f_{X}(\sqrt{y})}{|2\sqrt{y}|}+\frac{f_{X}(-\sqrt{y})}{|{-}2\sqrt{y}|} =\frac{\tfrac{1}{2}}{2\sqrt{y}}+\frac{\tfrac{1}{2}}{2\sqrt{y}} =\frac{1}{2\sqrt{y}},
o que coincide com o que obtivemos derivando a f.d.a. — boa confirmação.
Um comentário final de amigo: deu um “singular” em zero, mas é só aparência — a massa está bem distribuída e tudo fecha. Boa! Vai dar certo na prova.

Resposta

F_{Y}(y)=\begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] \sqrt{y}, & 0\le y\le 1,\\[4pt] 1, & y>1, \end{cases}
f_{Y}(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt{y}}, & 0<y<1,\\[8pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Exercícios relacionados