Exercício 6 Considere X \sim U(-1,+1). Obtenha a f.d.a e a f.d.p de Y=X^{2}.
Passo 1
O enunciado dá que X é uniforme no intervalo (-1,1), isto é X\sim U(-1,1), e define Y=X^{2}.
As perguntas são: obter a f.d.a. (função distribuição acumulada) de Y e obter a f.d.p. (função densidade de probabilidade) de Y.
Informações relevantes fornecidas:
A densidade de X é constante em (-1,1).
A transformação Y=X^{2} leva valores de X para [0,1].
A transformação x\mapsto x^{2} não é monótona em (-1,1) (tem duas raízes \pm\sqrt{y} para cada y\in(0,1)), então devemos ter cuidado ao transformar densidades.
Passo 2
Primeira ideia (método do CDF): para qualquer y vale
Essa é uma abordagem segura quando a transformação não é monotônica: expressa-se o evento \{X^{2}\le y\} em termos de X e integra-se a densidade de X sobre a pré-imagem.
Segunda ideia (método das raízes / mudança de variável para PDF): quando y é tal que a equação x^{2}=y tem raízes x_{i} distintas, existe a fórmula
onde g(x)=x^{2} e g'(x)=2x. Vou usar primeiro o método do CDF e depois mostrar que a fórmula das raízes dá o mesmo resultado (útil para ver como proceder em provas).
Observação sobre y=0\]: a densidade diverge quando \(y\to 0^{+}, mas isso é aceitável; a função é integrável no intervalo (0,1) como veremos no passo seguinte.]
Passo 5
Verificação rápida de normalização (para ficar seguro e mostrar que está correto):