A4: Calcule o limite da sequência
, onde
Passo 1
O enunciado pede o limite da sequência
definida por
Informações dadas:
- O numerador é a soma dos
primeiros números ímpares: . - A sequência é indexada por
e queremos .
Passo 2
Vamos calcular explicitamente a soma dos
primeiros ímpares. Defina
Usando propriedades de somas:
Aqui
(fórmula conhecida para a soma dos primeiros
inteiros) e
. Substituindo:
Comentário didático rápido: a soma dos
primeiros ímpares dá sempre
. Ex.: para
,
.
Passo 3
Substituindo
em
obtemos
Passo 4
Simplificamos os termos
. Para combinar as frações, coloque no mesmo denominador:
Portanto
Passo 5
Agora calculamos o limite. Observe a parte racional
. Podemos escrevê-la dividindo numerador e denominador por
:
Como
, segue que
Usando regras de limite (somar limites quando existem), temos
Passo 6
Interpretação final curta e motivadora: a soma dos ímpares vira
, isso simplifica a expressão e o termo dominante cancela deixando uma razão que tende a
; o resto é só contas. Boa! Isso aparece bastante em prova — reconhecer somas padrões salva tempo.