A4: Calcule o limite da sequência \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, onde
a_{n}=\frac{1+3+5+\ldots+(2 n-1)}{n+1}-\frac{1}{2}-n .

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} definida por
a_{n}=\frac{1+3+5+\ldots+(2n-1)}{n+1}-\frac{1}{2}-n.
Informações dadas:
  • O numerador é a soma dos n primeiros números ímpares: 1,3,5,\ldots,2n-1.
  • A sequência é indexada por n\in\mathbb{N} e queremos \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Vamos calcular explicitamente a soma dos n primeiros ímpares. Defina
S_n = 1+3+5+\ldots+(2n-1)=\sum_{k=1}^{n}(2k-1).
Usando propriedades de somas:
S_n = 2\sum_{k=1}^{n}k - \sum_{k=1}^{n}1.
Aqui \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2} (fórmula conhecida para a soma dos primeiros n inteiros) e \sum_{k=1}^{n}1=n. Substituindo:
S_n = 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1)-n = n^2.
Comentário didático rápido: a soma dos n primeiros ímpares dá sempre n^2. Ex.: para n=3, 1+3+5=9=3^2.

Passo 3

Substituindo S_n=n^2 em a_n obtemos
a_{n}=\frac{n^{2}}{n+1}-\frac{1}{2}-n.

Passo 4

Simplificamos os termos \dfrac{n^{2}}{n+1}-n. Para combinar as frações, coloque no mesmo denominador:
\frac{n^{2}}{n+1}-n=\frac{n^{2}-n(n+1)}{n+1}=\frac{n^{2}-n^{2}-n}{n+1}=\frac{-n}{n+1}.
Portanto
a_{n}=-\frac{n}{n+1}-\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora calculamos o limite. Observe a parte racional \dfrac{n}{n+1}. Podemos escrevê-la dividindo numerador e denominador por n:
\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{n}}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Usando regras de limite (somar limites quando existem), temos
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{n}{n+1}-\frac{1}{2}\right)=-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}.

Passo 6

Interpretação final curta e motivadora: a soma dos ímpares vira n^2, isso simplifica a expressão e o termo dominante cancela deixando uma razão que tende a 1; o resto é só contas. Boa! Isso aparece bastante em prova — reconhecer somas padrões salva tempo.

Resposta

-\dfrac{3}{2}

Exercícios relacionados