Resolva a equação de valor inicial
2 x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-3 y=0
y(1)=1, \quad y^{\prime}(1)=4 .

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Equação diferencial de segunda ordem dada:
2 x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-3 y=0.
  • Condições iniciais:
y(1)=1,\qquad y^{\prime}(1)=4.
  • O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Observação sobre o tipo de equação (sem resolver ainda): a equação tem coeficientes que são potências de x multiplicando y'', y' e y. Esse é o caso clássico da equação de Euler–Cauchy (ou equação equidimensional). A estratégia padrão para esse tipo é procurar soluções da forma
y=x^{m},
com m real (ou complexo). Vou explicar por que: para y=x^{m} as derivadas são também potências de x vezes constantes em m, então todos os termos ficam proporcionais a x^{m} e isso reduz a equação a um polinômio em m (equação característica). É um truque que vale a pena memorizar para provas — funciona sempre que os coeficientes são monômios do tipo x^{k} com graus compatíveis (aqui x^{2},x,1).

Passo 3

Calcular y',y'' para a hipótese y=x^{m}.
  • Derivada primeira:
y'=\frac{d}{dx}\bigl(x^{m}\bigr)=m x^{m-1}.
  • Derivada segunda:
y''=\frac{d}{dx}\bigl(m x^{m-1}\bigr)=m(m-1)x^{m-2}.
Essas fórmulas são básicas de diferenciação de potências: \dfrac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1} e aplicando de novo obtemos a segunda derivada.

Passo 4

Substituir y,y',y'' na equação diferencial.
A equação é
2 x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-3 y=0.
Substituindo as expressões:
2x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr) + x\bigl(m x^{m-1}\bigr) - 3\bigl(x^{m}\bigr)=0.

Passo 5

Simplificar os fatores em potência de x.
Cada termo tem um fator x^{m}:
2x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2} = 2 m(m-1) x^{m},
x\cdot m x^{m-1} = m x^{m},
-3 x^{m} = -3 x^{m}.
Somando:
\bigl(2 m(m-1) + m - 3\bigr) x^{m} = 0.
Como x^{m} não é identicamente zero para x\neq0, a expressão entre parênteses deve ser zero.

Passo 6

Obter a equação característica em m.
A equação para m é
2 m(m-1) + m - 3 = 0.
Expandindo:
2m^{2} - 2m + m - 3 = 2m^{2} - m - 3 = 0.

Passo 7

Resolver a equação quadrática 2m^{2}-m-3=0.
Calcular o discriminante:
\Delta = (-1)^{2} - 4\cdot 2\cdot(-3) = 1 + 24 = 25.
Como \Delta=25 (um quadrado perfeito), as raízes são
m=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{1\pm 5}{4}.
Logo
m_{1}=\frac{1+5}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}, \qquad m_{2}=\frac{1-5}{4}=\frac{-4}{4}=-1.

Passo 8

Escrever a solução geral da equação diferencial homogênea.
Para duas raízes reais distintas m_{1} e m_{2} da equação característica, a solução geral é combinação linear das potências x^{m_{1}} e x^{m_{2}}:
y(x)=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}}.
Substituindo os valores de m_{1},m_{2} obtidos:
y(x)=C_{1}x^{3/2}+C_{2}x^{-1},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Esses dois termos são linearmente independentes, por isso formam uma base de soluções.

Passo 9

Preparar a derivada y'(x) da solução geral (para usar na condição inicial de y').
Derivando termo a termo:
y'(x)=C_{1}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}+C_{2}\cdot(-1)x^{-2}.
Ou seja,
y'(x)=\frac{3}{2}C_{1}x^{1/2}-C_{2}x^{-2}.

Passo 10

Aplicar as condições iniciais em x=1 para obter um sistema para C_{1},C_{2}.
Primeira condição y(1)=1:
y(1)=C_{1}\cdot 1^{3/2}+C_{2}\cdot 1^{-1}=C_{1}+C_{2}=1.
Segunda condição y'(1)=4:
y'(1)=\frac{3}{2}C_{1}\cdot 1^{1/2}-C_{2}\cdot 1^{-2}=\frac{3}{2}C_{1}-C_{2}=4.
Portanto o sistema linear é
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] \dfrac{3}{2}C_{1}-C_{2}=4. \end{cases}]

Passo 11

Resolver o sistema para C_{1} e C_{2}.
Somar as duas equações (para eliminar C_{2}):
\left(C_{1}+C_{2}\right) + \left(\tfrac{3}{2}C_{1}-C_{2}\right) = 1 + 4.
No lado esquerdo C_{2} cancela, sobrando
\left(1 + \tfrac{3}{2}\right)C_{1} = 5.
Calculando 1+\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2}, então
\dfrac{5}{2}C_{1}=5 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=2.
Usando C_{1}+C_{2}=1
C_{2}=1-C_{1}=1-2=-1.

Passo 12

Comentários finais e domínio da solução.
  • Encontramos as constantes C_{1}=2 e C_{2}=-1.
  • A solução construída com essas constantes satisfaz a EDO e as condições iniciais. A solução está bem definida para x>0 e também para x<0 (cada termo é uma potência com expoentes racionais/inteiros), mas como a condição inicial foi dada em x=1>0, consideramos a solução no intervalo onde x>0.

Resposta

y(x)=2x^{3/2}-x^{-1}.

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