Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Equação diferencial de segunda ordem dada:
2 x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-3 y=0.
Condições iniciais:
y(1)=1,\qquad y^{\prime}(1)=4.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Observação sobre o tipo de equação (sem resolver ainda): a equação tem coeficientes que são potências de x multiplicando y'', y' e y. Esse é o caso clássico da equação de Euler–Cauchy (ou equação equidimensional). A estratégia padrão para esse tipo é procurar soluções da forma
y=x^{m},
com m real (ou complexo). Vou explicar por que: para y=x^{m} as derivadas são também potências de x vezes constantes em m, então todos os termos ficam proporcionais a x^{m} e isso reduz a equação a um polinômio em m (equação característica). É um truque que vale a pena memorizar para provas — funciona sempre que os coeficientes são monômios do tipo x^{k} com graus compatíveis (aqui x^{2},x,1).
A solução construída com essas constantes satisfaz a EDO e as condições iniciais. A solução está bem definida para x>0 e também para x<0 (cada termo é uma potência com expoentes racionais/inteiros), mas como a condição inicial foi dada em x=1>0, consideramos a solução no intervalo onde x>0.