Exercício 7. Criticar o raciocínio seguinte :
Mostremos que n pontos distintos dados do plano estão sempre alinhados em uma mesma reta. Isto é verdadeiro para
, e mesmo para
.
Suponhamos que n pontos distintos dados do plano estejam sempre alinhados em uma mesma reta (hipótese de recorrência) e consideremos
pontos do plano
.
De acordo com a hipótese de recorrência, os
pontos
estão alinhados em uma reta
e os
pontos
estão alinhados em uma reta
'; mas como os pontos
e
são comuns a
e
e os
pontos
são alinhados em
, o que encerra a recorrência.
Mostremos que n pontos distintos dados do plano estão sempre alinhados em uma mesma reta. Isto é verdadeiro para
Suponhamos que n pontos distintos dados do plano estejam sempre alinhados em uma mesma reta (hipótese de recorrência) e consideremos
De acordo com a hipótese de recorrência, os
Passo 1
O enunciado tenta provar por indução que “quaisquer
pontos distintos do plano estão sempre alinhados”. O conteúdo é prova por indução matemática aplicada a geometria de retas. Vamos verificar o caso base e depois o passo de indução, procurando algum ponto fraco.
Passo 2
Caso base:
– Para qualquer ponto está trivially em alguma reta.
– Para dois pontos distintos determinam exatamente uma reta.
Logo, os casos base e
realmente valem.
– Para
– Para
Logo, os casos base
Passo 3
Passo indutivo (segundo o raciocínio):
Suponha que todo conjunto de pontos distintos seja colinear. Dado um conjunto de
pontos
, escolhemos os dois subconjuntos:
Suponha que todo conjunto de
Pela hipótese de indução, cada subconjunto está alinhado em retas
e
, respectivamente. Como dizem ter dois pontos comuns
e
, concluem
e, então, os
pontos são colineares.
Passo 4
Identificando a falha:
Para que duas retas coincidam, é necessário que tenham pelo menos dois pontos distintos em comum. No entanto, ao passar de para
pontos, cada subconjunto de tamanho
só tem um ponto em comum:
Para que duas retas coincidam, é necessário que tenham pelo menos dois pontos distintos em comum. No entanto, ao passar de
compartilham apenas
. Um único ponto comum não garante que
. Assim, o passo de indução não funciona para
.
Passo 5
Como falha justamente na transição essencial
, a prova indutiva não se sustenta. Sem garantir a coincidência de retas nesse caso, não há como concluir que todos os conjuntos de
pontos são colineares.
Resposta
O erro está em assumir que as retas
e
coincidem sempre que compartilham um ponto; na verdade, para que duas retas sejam iguais, precisam ter pelo menos dois pontos distintos em comum, o que falha ao induzir de
para
.