Exercício 7. Criticar o raciocínio seguinte :
Mostremos que n pontos distintos dados do plano estão sempre alinhados em uma mesma reta. Isto é verdadeiro para \mathrm{n}=1, e mesmo para \mathrm{n}=2.
Suponhamos que n pontos distintos dados do plano estejam sempre alinhados em uma mesma reta (hipótese de recorrência) e consideremos n+1 pontos do plano A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1}.
De acordo com a hipótese de recorrência, os n pontos A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} estão alinhados em uma reta D e os n pontos A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1} estão alinhados em uma reta D '; mas como os pontos A_{2} e A_{3} são comuns a D e D^{\prime}, D=D^{\prime} e os n+1 pontos A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, A_{n+1} são alinhados em D=D^{\prime}, o que encerra a recorrência.

Passo 1

O enunciado tenta provar por indução que “quaisquer n pontos distintos do plano estão sempre alinhados”. O conteúdo é prova por indução matemática aplicada a geometria de retas. Vamos verificar o caso base e depois o passo de indução, procurando algum ponto fraco.

Passo 2

Caso base:
– Para n=1 qualquer ponto está trivially em alguma reta.
– Para n=2 dois pontos distintos determinam exatamente uma reta.
Logo, os casos base n=1 e n=2 realmente valem.

Passo 3

Passo indutivo (segundo o raciocínio):
Suponha que todo conjunto de n pontos distintos seja colinear. Dado um conjunto de n+1 pontos A_{1},A_{2},\dots,A_{n+1}, escolhemos os dois subconjuntos:
\{A_{1},A_{2},\dots,A_{n}\}\quad\text{e}\quad\{A_{2},A_{3},\dots,A_{n+1}\}.
Pela hipótese de indução, cada subconjunto está alinhado em retas D e D', respectivamente. Como dizem ter dois pontos comuns A_{2} e A_{3}, concluem D=D' e, então, os n+1 pontos são colineares.

Passo 4

Identificando a falha:
Para que duas retas coincidam, é necessário que tenham pelo menos dois pontos distintos em comum. No entanto, ao passar de n=2 para n+1=3 pontos, cada subconjunto de tamanho 2 só tem um ponto em comum:
\{A_{1},A_{2}\}\quad\text{e}\quad\{A_{2},A_{3}\}
compartilham apenas A_{2}. Um único ponto comum não garante que D=D'. Assim, o passo de indução não funciona para n=2\to n+1=3.

Passo 5

Como falha justamente na transição essencial n=2\to3, a prova indutiva não se sustenta. Sem garantir a coincidência de retas nesse caso, não há como concluir que todos os conjuntos de n pontos são colineares.

Resposta

O erro está em assumir que as retas D e D' coincidem sempre que compartilham um ponto; na verdade, para que duas retas sejam iguais, precisam ter pelo menos dois pontos distintos em comum, o que falha ao induzir de n=2 para n=3.

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