Exercício 6. Mostrar que para todo inteiro n superior a 2 :
  • 1+3+5+\ldots .+(2 n-1)=n^{2}
  • 2+4+6+\ldots+2 n=n^{2}+n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para todo inteiro n>2, duas fórmulas de somas de progressões aritméticas de razão 2:
  1. A soma dos n primeiros números ímpares:
1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1).
  1. A soma dos n primeiros números pares:
2 + 4 + 6 + \dots + 2n.
Para resolver, vamos usar a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Passo 2

A soma S_n dos n primeiros termos de uma progressão aritmética com primeiro termo a_1 e último termo a_n é dada por
S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}.

Passo 3

Na soma dos ímpares temos uma P.A. com a_1=1, a_n=2n-1 e n termos. Logo, pela fórmula,
1 + 3 + \dots + (2n-1) = \frac{n\bigl(1+(2n-1)\bigr)}{2} = \frac{n\cdot 2n}{2} = n^2.

Passo 4

Na soma dos pares temos uma P.A. com a_1=2, a_n=2n e n termos. Aplicando a fórmula,
2 + 4 + \dots + 2n = \frac{n\,(2 + 2n)}{2} = \frac{n\cdot 2\,(n+1)}{2} = n(n+1) = n^2 + n.

Resposta

1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2,
2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n^2 + n.

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