Exercício 8. Ou
nenhuma sequência real definida pelos dados dos dois primeiros termos, ou seja
e
, e para todos os
, la relação de recorrência
. Mostrar isso. para todo
.
Passo 1
O enunciado define uma sequência real
pelos termos iniciais
e pela relação de recorrência de segunda ordem
para todo
.
O conteúdo é resolução de recorrência linear com coeficientes constantes, que pode ser feito pelo método do polinômio característico.
O conteúdo é resolução de recorrência linear com coeficientes constantes, que pode ser feito pelo método do polinômio característico.
Passo 2
Escrevemos a recorrência na forma homogênea padrão:
Assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na recorrência obtemos o polinômio característico
Passo 3
Resolvendo
fatoramos
de onde as raízes são
Assim a solução geral é
Passo 4
Usamos as condições iniciais para achar
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo a segunda da primeira:
Logo
.
Passo 5
Substituindo
e
na forma geral, obtemos
Para garantir que essa fórmula realmente satisfaz a recorrência, basta verificar que ela dá
,
e que
é igual a
Assim a fórmula está comprovada por indução.