Exercício 8. Ou \left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n}} nenhuma sequência real definida pelos dados dos dois primeiros termos, ou seja u_{0}=1 e u_{1}=-1, e para todos os n \in \mathbb{N}, la relação de recorrência 2 u_{n+2}=3 u_{n+1}-u_{n}. Mostrar isso. para todo \mathrm{n} \in \mathbb{N}, \mathrm{u}_{\mathrm{n}}=2^{2-\mathrm{n}}-3.

Passo 1

O enunciado define uma sequência real \bigl(u_n\bigr)_{n\in\mathbb{N}} pelos termos iniciais
u_0 = 1,\quad u_1 = -1
e pela relação de recorrência de segunda ordem
2\,u_{n+2} \;=\;3\,u_{n+1}-u_n
para todo n\in\mathbb{N}.
O conteúdo é resolução de recorrência linear com coeficientes constantes, que pode ser feito pelo método do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos a recorrência na forma homogênea padrão:
2\,u_{n+2}-3\,u_{n+1}+u_n=0.
Assumimos uma solução do tipo u_n=r^n. Substituindo na recorrência obtemos o polinômio característico
2\,r^2-3\,r+1=0.

Passo 3

Resolvendo
2\,r^2-3\,r+1=0
fatoramos
(2r-1)(r-1)=0
de onde as raízes são
r_1=1,\quad r_2=\tfrac12.
Assim a solução geral é
u_n = A\cdot1^n + B\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n = A + B\,2^{-n}.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para achar A e B:
Para n=0:
u_0 = A + B = 1.
Para n=1:
u_1 = A + B\,2^{-1} = A + \tfrac B2 = -1.
Subtraindo a segunda da primeira:
\Bigl(A+\tfrac B2\Bigr)-\bigl(A+B\bigr) = -1 - 1 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac B2 = -2 \quad\Longrightarrow\quad B=4.
Logo A=1-B=1-4=-3.

Passo 5

Substituindo A e B na forma geral, obtemos
u_n = -3 + 4\,2^{-n} = 2^{2-n}-3.
Para garantir que essa fórmula realmente satisfaz a recorrência, basta verificar que ela dá u_0=1, u_1=-1 e que
2\,u_{n+2} =2\bigl(2^{2-(n+2)}-3\bigr) =2\bigl(2^{-n}-3\bigr) =2^{1-n}-6
é igual a
3\,u_{n+1}-u_n =3\bigl(2^{2-(n+1)}-3\bigr)-\bigl(2^{2-n}-3\bigr) =2^{1-n}-6.
Assim a fórmula está comprovada por indução.

Resposta

u_n = 2^{2-n} - 3.

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