Exercício 4 (D.2.2.11)
Seja f: R C uma função Riemann integrável, periódica e de período T>0. Determine a constante A>0 tal que a função abaixo seja periódica e de período T :
F(x)=integral0^x f(t) d t-A x

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função ,f:RtoC, Riemann integrável e periódica de período T>0. Definimos
F(x)=integral0^xf(t),dt ;-; A,x
e queremos escolher a constante A>0 de modo que F seja periódica com período T. Para isso usaremos a condição
F(x+T)=F(x)
e a propriedade de integrais de funções periódicas.

Passo 2

Calculemos F(x+T). Usando a decomposição do integral em [0,x+T]=[0,T]cup[T,x+T] e a periodicidade de f, obtemos
integral0^x+Tf(t),dt =integral0^Tf(t),dt +integralT^x+Tf(t),dt =integral0^Tf(t),dt +integral0^xf(s),ds
Logo,
F(x+T) =integral0^x+Tf(t),dt ;-; A,(x+T) =gl[integral0^Tf(t),dt+integral0^xf(s),dsgr] -;A,x-;A,T

Passo 3

Para que F seja periódica de período T precisamos de
F(x+T)=F(x) Longrightarrow integral0^Tf(t),dt - A,T = 0
Desse modo,
A=1T,integral0^Tf(t),dt

Passo 4

Com
A=1Tintegral0^Tf(t),dt
temos
F(x+T) =F(x)+integral0^Tf(t),dt - A,T =F(x),
logo F é periódica de período T.

Resposta

A=1Tintegral0^Tf(t),dt

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