(2,0) Sejam a>0, f(x)=arcsen x e g(x)=-ln (x-a)+1.
(a) Determine f(g(x)) e o domínio de f circ g.
A expressão fica f(g(x))=arcsen g(x)=arcsen(-ln (x-a)+1).
Como a função arcsen tem domínio [-1,1] e a função ln tem domínio ( 0, infty ), o domínio de f circ g é o conjunto dos números reais x que satisfazem as condições
x-a>0 e -1 <=-ln (x-a)+1 <= 1
De x-a>0, concluímos que x>a.
De -1 <=-ln (x-a)+1 <= 1, obtemos
r -1 <=-ln (x-a)+1 <= 1 -2 <=-ln (x-a) <= 0 2 >= ln (x-a) >= 0 e^2 >= e^ln (x-a) >= e^0 e^2 >= x-a >= 1 e^2+a >= x >= 1+a 1+a <= x <= e^2+a
Temos 1+a>a donde
x>a e 1+a <= x <= e^2+a
equivale a 1+a <= x <= e^2+a. Em forma de intervalo a resposta pretendida é
[1+a, e^2+a]
(b) Determine todos os números x tais que f(g(x))=0.
Resolvendo
f(g(x)) & =0 arcsen(-ln (x-a)+1) & =0 -ln (x-a)+1 & =0 ln (x-a) & =1 x-a & =e^1 x & =e+a
Nota: e+a está no domínio acima.

Passo 1

O enunciado pede a composição de funções fcirc g onde f(x)=arcsenx e g(x)=-ln(x-a)+1 com a>0. Precisamos então (i) escrever f(g(x)) e determinar seu domínio, e (ii) resolver a equação f(g(x))=0.

Passo 2

A composição fica
f(g(x))=arcsenl(g(x)r)=arcsenl(-ln(x-a)+1r)

Passo 3

Para achar o domínio de fcirc g observamos duas restrições:
  1. A função logaritmo exige x-a>0, ou seja
x>a
  1. A função arcsen exige que o argumento esteja em [-1,1], logo
-1 <= -ln(x-a)+1 <= 1
Resolvendo essa dupla desigualdade:
-1 &<= -ln(x-a)+1 <= 1 -2 &<= -ln(x-a) <= 0 2 &>= ln(x-a) >= 0 e^2 &>= x-a >= e^0=1 a+1 &<= x <= a+e^2
Combinando com x>a (e notando que a+1>a pois a>0) obtemos
boxedDom(fcirc g)=[,a+1,;a+e^2,]

Passo 4

Para resolver f(g(x))=0 basta impor
arcsenl(-ln(x-a)+1r)=0 Longrightarrow -ln(x-a)+1=0 Longrightarrow ln(x-a)=1 Longrightarrow x-a=e Longrightarrow x=a+e
Verificamos que a+ein[a+1,a+e^2] pois 1<e<e^2.

Resposta

(a) f(g(x))=arcsenl(-ln(x-a)+1r), com
Dom(fcirc g)=[,a+1,;a+e^2,]
(b) A única solução de f(g(x))=0 é
x=a+e

Exercícios relacionados