Sejam
e
.
(a) Determine
e o domínio de
.
A expressão fica
.
Como a função arcsen tem domínio
e a função ln tem domínio (
), o domínio de
é o conjunto dos números reais
que satisfazem as condições
De
, concluímos que
.
De
, obtemos
Temos
donde
equivale a
. Em forma de intervalo a resposta pretendida é
(b) Determine todos os números
tais que
.
Resolvendo
Nota:
está no domínio acima.
(a) Determine
Como a função arcsen tem domínio
De
Passo 1
O enunciado pede a composição de funções
onde
e
com
. Precisamos então (i) escrever
e determinar seu domínio, e (ii) resolver a equação
.
Passo 2
A composição fica
Passo 3
Para achar o domínio de
observamos duas restrições:
- A função logaritmo exige
, ou seja
- A função
exige que o argumento esteja em , logo
Resolvendo essa dupla desigualdade:
Combinando com
(e notando que
pois
) obtemos
Passo 4
Para resolver
basta impor
Verificamos que
pois
.
Resposta
(a)
, com
(b) A única solução de
é