Exercício 6. (D. 6, ex.2.7) Seja F a transformada de Fourier. Mostre que:
F(f(x) e^-i c x)(xi)=F(f)(xi+c), c in R.

Passo 1

O enunciado nos pede para provar a propriedade de modulação da transformada de Fourier, ou seja, que multiplicar uma função f(x) por e^-i c x desloca sua transformada em frequência. O conteúdo aqui é a definição de transformada de Fourier e a manipulação de exponenciais complexas.

Passo 2

Começamos lembrando a definição da transformada de Fourier de uma função g:
F(g)(xi)=integral-infty^inftyg(x),e^-ixi x,dx
No nosso caso, vamos aplicar essa definição a
g(x)=f(x),e^-i c x

Passo 3

Substituindo g(x)=f(x)e^-i c x na definição, obtemos
Fl(f(x)e^-i c xr)(xi) =integral-infty^inftyf(x),e^-i c x,e^-ixi x,dx
Como os expoentes se somam, podemos escrever
e^-i c x,e^-ixi x=e^-i(xi+c)x

Passo 4

Portanto a integral vira
integral-infty^inftyf(x),e^-i(xi+c)x,dx,
que, pela definição de transformada, é exatamente F(f) avaliada em xi+c.

Resposta

Fl(f(x)e^-i c xr)(xi) =F(f)(xi+c)

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