Exercício 6. (D. 6, ex.2.7) Seja
a transformada de Fourier. Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado nos pede para provar a propriedade de modulação da transformada de Fourier, ou seja, que multiplicar uma função
por
desloca sua transformada em frequência. O conteúdo aqui é a definição de transformada de Fourier e a manipulação de exponenciais complexas.
Passo 2
Começamos lembrando a definição da transformada de Fourier de uma função
:
No nosso caso, vamos aplicar essa definição a
Passo 3
Substituindo
na definição, obtemos
Como os expoentes se somam, podemos escrever
Passo 4
Portanto a integral vira
que, pela definição de transformada, é exatamente
avaliada em
.