Questão 4. (4 pontos)
a) Resolva o problema de contorno:
l ut t=ux x-12 ut 0<x<pi, t>0 u(0, t)=0, u(pi, t)=0 u(x, 0)=0 ut(x, 0)=f(x)
b) Determine u(x, t) para f(x) dada na Questão 3 .
Sugestão para Questão 4 a): Faça a separação de variáveis; aplique as condições de fronteira; resolva a EDO com as condições de fronteira encontradas; resolva a segunda EDO; faça a superposição das soluções; determine os coeficientes utilizando a condição inicial.
integral x cos (a x) d x=xa sen(a x)+1a^2 cos (a x) integral x sen(a x) d x=-xa cos (a x)+1a^2 sen(a x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de contorno
utt = uxx-tfrac12,ut,&0<x<pi,;t>0, u(0,t)=0,;u(pi,t)=0, &t>=0, u(x,0)=0, ut(x,0)=f(x),&0<= x<=pi,
usando separação de variáveis e, em seguida, determinar explicitamente u(x,t) quando f(x) for a dada na Questão 3. Vamos usar a teoria de problemas de Sturm–Liouville para o modo espacial e depois resolver a EDO no tempo.

Passo 2

Propomos a forma separada
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na PDE
X(x),T''(t)=X''(x),T(t)-tfrac12,X(x),T'(t)
e dividindo por X(x),T(t) obtemos
T''(t)+tfrac12,T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
O sinal “ -lambda” é para termos modos oscilatórios na direção espacial.

Passo 3

Do lado espacial surge o problema de autovalores
X''(x)+lambda,X(x)=0, X(0)=0,;X(pi)=0
Sabemos que lambdan=n^2 e os autofunções são
Xn(x)=sin(n x), n=1,2,dots

Passo 4

Para cada modo n a parte temporal satisfaz
Tn''(t)+tfrac12,Tn'(t)+n^2,Tn(t)=0
A equação característica é
r^2+tfrac12,r+n^2=0, De<a=tfrac14-4n^2<0,
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r=-tfrac14pm i,omegan, omegan=raiz16n^2-14

Passo 5

A solução geral para Tn é
Tn(t)=e^-t/4l(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)
Assim o somatório superposto é
u(x,t)=sumn=1^inftysin(n x),e^-t/4l(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)

Passo 6

Aplicando a condição inicial u(x,0)=0
0=sumn=1^infty Ansin(n x)Longrightarrow An=0;forall n
Em seguida
ut(x,t)=sumn=1^infty sin(n x),e^-t/4l(-tfrac14Ancos(omegan t) +(!-!,tfrac14Bn)sin(omegan t)+Bnomegancos(omegan t)r)
Em t=0, com An=0, ficamos
ut(x,0)=sumn=1^infty Bn,omegansin(n x)=f(x)

Passo 7

Expandimos f(x) em série de senos:
f(x)=sumn=1^infty Fnsin(n x), Fn=2piintegral0^pif(s)sin(n s),ds
Comparando coeficientes obtemos
Bn,omegan=Fn Longrightarrow Bn=Fnomegan

Passo 8

Logo a solução final do problema (parte a) é
boxed u(x,t)=sumn=1^infty Fnomegan,sin(n x);e^-t/4, sinl(omegan tr), omegan=raiz16n^2-14, Fn=2piintegral0^pif(s)sin(n s),ds

Passo 9

Para a parte b, basta calcular os coeficientes Fn usando o f(x) da Questão 3 no integral
Fn=2piintegral0^pif(s)sin(ns),ds
e substituir na solução acima. Sem a expressão explícita de f(x) da Questão 3 não podemos obter mais detalhamento numérico.

Resposta

Parte a)
u(x,t)=sumn=1^infty 2pi,1omeganl(integral0^pif(s)sin(ns),dsr) sin(n x);e^-t/4,sin(omegan t), omegan=raiz16n^2-14
Parte b)
Substituir nesta série
Fn=2piintegral0^pif(s)sin(ns),ds
com f(x) da Questão 3.

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