Questão 4. (4 pontos)
a) Resolva o problema de contorno:
b) Determine u(x, t) para f(x) dada na Questão 3 .
Sugestão para Questão 4 a): Faça a separação de variáveis; aplique as condições de fronteira; resolva a EDO com as condições de fronteira encontradas; resolva a segunda EDO; faça a superposição das soluções; determine os coeficientes utilizando a condição inicial.
integral x cos (a x) d x=xa sen(a x)+1a^2 cos (a x) integral x sen(a x) d x=-xa cos (a x)+1a^2 sen(a x)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de contorno
usando separação de variáveis e, em seguida, determinar explicitamente u(x,t) quando f(x) for a dada na Questão 3. Vamos usar a teoria de problemas de Sturm–Liouville para o modo espacial e depois resolver a EDO no tempo.
Passo 2
Propomos a forma separada
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na PDE
X(x),T''(t)=X''(x),T(t)-tfrac12,X(x),T'(t)
e dividindo por X(x),T(t) obtemos
T''(t)+tfrac12,T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
O sinal “-lambda” é para termos modos oscilatórios na direção espacial.