Exercício 6. (D. 6, ex.2.7) Seja F a transformada de Fourier. Mostre que:
F(f(xa))(xi)=a F(f)(a xi), a>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de escalamento da transformada de Fourier: se definimos
g(x)=fl(tfracxar)
com a>0, então
F(g)(xi) =Fl(f(tfracxa)r)(xi) stackrel?=a,F(f)(axi)
Vamos usar a definição usual
F(h)(xi)=integral-infty^inftye^-i xxi,h(x),dx
e fazer uma mudança de variável.

Passo 2

Calculemos diretamente
Fl(f(tfracxa)r)(xi) =integral-infty^inftye^-i xxi,fl(tfracxar),dx
Fazemos a substituição y=tfracxa, logo x=ay e dx=a,dy. Como a>0, os limites continuam -infty a +infty. Assim
integral-infty^inftye^-i xxi,fl(tfracxar),dx =integral-infty^inftye^-i (a y),xi,f(y),a,dy =aintegral-infty^inftye^-i y,(axi),f(y),dy
Mas o integral final é exatamente F(f)(axi). Portanto
Fl(f(tfracxa)r)(xi) =a,F(f)(axi)

Resposta

boxedFl(f(tfracxa)r)(xi)=a,F(f)(axi), a>0

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