Q. 6 (1,0 (extra)). Use a definição de limite para mostrar que lim x 0 x cdot sen(1x)=0.
Análogo à questão 1, percebendo que |x cdot sen(1x)-0|=|x| cdot|sen(1x)| <=|x|.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
limxto0xsin!l(tfrac1xr)=0
Isso significa mostrar que, para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-0|<de<a, temos |xsin(1/x)-0|<epsilon.

Passo 2

Vamos estimar a distância ao valor alvo 0. Para xneq0,
|xsin!l(tfrac1xr)-0| =|x|;l|sin!l(tfrac1xr)r| <=|x|cdot1 =|x|
Portanto, controlar |x| é suficiente para controlar |xsin(1/x)|.

Passo 3

Dado epsilon>0, basta escolher
de<a=epsilon
Então, sempre que 0<|x|<de<a, garantimos
|xsin!l(tfrac1xr)|<=|x|<de<a=epsilon
Isso conclui a prova pelo critério epsilon- de<a.

Resposta

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