Q. 1 (2,0). Escreva a definição de limite, no ponto x=a, para uma função f. Em seguida, mostre pela definição que lim x -2 x^2=4.

Passo 1

O enunciado pede primeiro que escrevamos a definição formal de limite no ponto x=a (conteúdo: definição varepsilon de<a), e depois que mostremos, usando essa definição, que
limxto -2 x^2 = 4

Passo 2

A definição de limite diz:
limxto a f(x) = L
se, e somente se, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<de<a, então |f(x)-L|<varepsilon.

Passo 3

Agora aplicamos ao caso f(x)=x^2, a=-2 e L=4. Dado varepsilon>0, devemos encontrar de<a>0 satisfazendo
0<|x-(-2)|<de<a Longrightarrow |x^2-4|<varepsilon
Observe que
|x^2-4| = |x-2|;|x+2|
Como queremos controlar |x+2|, impomos também de<a<= 1, de modo que, sempre que |x+2|<de<a<=1, temos
|x+2|<1 Longrightarrow |x-2| = |(x+2)-4|<= |x+2| + 4 < 1 + 4 = 5
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|x^2-4| = |x+2|;|x-2| < 5,|x+2| = 5,|x-(-2)|

Passo 4

Para garantir |x^2-4|<varepsilon, basta escolher de<a satisfazendo
5,de<a <= varepsilon e de<a <= 1
Portanto, definimos
de<a = minl1,;varepsilon5r
Com essa escolha, sempre que 0<|x+2|<de<a segue-se
|x^2-4| < 5,|x+2| < 5,de<a <= varepsilon,
o que completa a prova pelo critério varepsilon de<a.

Resposta

limxto -2 x^2 = 4

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