Exercício 5) Dada a função f(x, y)=cllx+y-2 & se & x=1 2 & se & x neq 1 eu y neq 1, mostre que existem fx(1,1) e fy(1,1) porém, f não é diferenciável em (1,1).

Passo 1

O enunciado define a função por
f(x,y)= x+y-2, &se x=1 ou y=1, 2, &se xneq1 e yneq1
Queremos mostrar que as derivadas parciais em (1,1) existem, mas que f não é diferenciável ali. Para isso vamos calcular
fx(1,1)=limhto0f(1+h,1)-f(1,1)h, fy(1,1)=limkto0f(1,1+k)-f(1,1)k,
e depois verificar o critério de diferenciabilidade (i.e.\ que o resto
R(h,k)=f(1+h,1+k)-f(1,1)-L(h,k)
não é o(raizh^2+k^2), onde L(h,k)=fx(1,1),h+fy(1,1),k).

Passo 2

Cálculo de fx(1,1). Para hneq0 pequeno, o ponto (1+h,1) tem y=1, logo cai na primeira linha da definição e
f(1+h,1)=(1+h)+1-2=h
Também f(1,1)=1+1-2=0. Assim
fx(1,1) =limhto0f(1+h,1)-f(1,1)h =limhto0h-0h =1

Passo 3

Cálculo de fy(1,1). Para kneq0 pequeno, o ponto (1,1+k) tem x=1, então
f(1,1+k)=1+(1+k)-2=k,
e de novo f(1,1)=0. Logo
fy(1,1) =limkto0f(1,1+k)-f(1,1)k =limkto0k-0k =1

Passo 4

Teste de diferenciabilidade. Se f fosse diferenciável em (1,1), teríamos
L(h,k)=fx(1,1),h + fy(1,1),k = h+k
e o resto
R(h,k)=f(1+h,1+k)-f(1,1)-(h+k)
teria que satisfazer
R(h,k)raizh^2+k^2to0 (!(h,k)to(0,0)!)
Mas, para hneq0 e kneq0, o ponto (1+h,1+k) está em xneq1 e yneq1, logo
f(1+h,1+k)=2, f(1,1)=0,
e
R(h,k)=2 - (h+k)
Isto dá
R(h,k)raizh^2+k^2 =2-(h+k)raizh^2+k^2
que não tende a 0 quando (h,k)to(0,0) (por exemplo, ao longo de k=h diverge). Portanto f não é diferenciável em (1,1).

Resposta

fx(1,1)=1, fy(1,1)=1,
porém f não é diferenciável em (1,1).

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