Exercício 2) Encontre, onde existir, as derivadas parciais das funções dadas a seguir:
f(x, y)=rcx^2+y^2x^2+2 y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)= x^2+y^2x^2+2y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Os conteúdos necessários são: definição de derivada parcial (como limite de quociente de incrementos), regra do quociente para funções de duas variáveis e cálculo de limites no ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) definimos
u(x,y)=x^2+y^2, v(x,y)=x^2+2y^2,
logo partialxu=2x, partialxv=2x, partialyu=2y, partialyv=4y.
Pela regra do quociente,
partialxf =partialxucdot v - ucdot partialxvv^2 =2x,(x^2+2y^2) - (x^2+y^2),2x(x^2+2y^2)^2 =2xl((x^2+2y^2)-(x^2+y^2)r)(x^2+2y^2)^2 =2x,y^2(x^2+2y^2)^2,
partialyf =partialyucdot v - ucdot partialyvv^2 =2y,(x^2+2y^2) - (x^2+y^2),4y(x^2+2y^2)^2 =2yl((x^2+2y^2)-2(x^2+y^2)r)(x^2+2y^2)^2 =-2x^2y(x^2+2y^2)^2

Passo 3

No ponto (0,0) usamos a definição:
partialxf(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto01-0h
porque f(h,0)=tfrach^2h^2=1 para hneq0. Esse limite diverge, logo não existe.
De forma análoga,
partialyf(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0tfrack^22k^2-0k =limkto0tfrac12k,
que também diverge. Portanto, em (0,0) nenhuma das derivadas parciais existe.

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partialxf(x,y) =2x,y^2(x^2+2y^2)^2, partialyf(x,y) =-2x^2y(x^2+2y^2)^2
Em (0,0) as derivadas parciais não existem.

Exercícios relacionados