Questão de Álgebra Linear

Encontre uma base do espaço solução do sistema homogêneo:
x 1+2 x 2+7 x 3-9 x 4+31 x 5=0
2 times 1+4 times 2+7 times 3-11 times 4+34 times 5=0
3 times 1+6 times 2+5 times 3-11 times 4+29 times 5=0
Onde x1, x2, x3, x4 e x5 são incógnitas.

Passo 1

O enunciado pede a base do espaço solução (o núcleo) de um sistema homogêneo com 5 incógnitas e 3 equações. Vamos usar eliminação de Gauss para levar a matriz dos coeficientes à forma escalonada e depois parametrizar as variáveis livres.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e aplicamos operações elementares:
(ccccc 1 & 2 & 7 & -9 & 31 2 & 4 & 7 & -11 & 34 3 & 6 & 5 & -11 & 29 )
Fazendo R2 R2-2R1 e R3 R3-3R1 obtemos
(ccccc 1 & 2 & 7 & -9 & 31 0 & 0 & -7 & 7 & -28 0 & 0 & -16& 16 & -64 )

Passo 3

Dividimos R2 por -7 e então eliminamos o termo da coluna 3 em R1 usando a nova R2:
R21-7R2 Longrightarrow (ccccc 1 & 2 & 7 & -9 & 31 0 & 0 & 1 & -1 & 4 0 & 0 & -16& 16 & -64 ),
R3 R3+16R2, R1 R1-7R2 Longrightarrow (ccccc 1 & 2 & 0 & -2 & 3 0 & 0 & 1 & -1 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )

Passo 4

Da forma escalonada vemos que as variáveis de pivô são x1 e x3. As variáveis livres são x2,x4,x5. Definimos
x2 = s, x4 = t, x5 = u
Das duas equações não nulas:
x1 + 2x2 -2x4 +3x5 = 0, x3 -x4 +4x5 = 0,
segue
x1 = -2s +2t -3u, x3 = t -4u

Passo 5

Escrevemos o vetor solução x=(x1,x2,x3,x4,x5) como combinação linear de parâmetros:
x = s,l(-2,1,0,0,0r) + t,l(2,0,1,1,0r) + u,l(-3,0,-4,0,1r)
Os três vetores que aparecem são linearly independentes e formam uma base do núcleo.

Resposta

l(-2,1,0,0,0),;(2,0,1,1,0),;(-3,0,-4,0,1)r

Exercícios relacionados