Exercício 3) Dado o conjunto \Sigma descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
\Sigma:\left\{\begin{array}{l}z-x^{2}-y^{2}=0 \\\ (x, y) \in[0,2] \times[0,2]\end{array} \quad\right..

Passo 1

O enunciado define o conjunto
\Sigma:\begin{cases} z - x^{2} - y^{2} = 0,\\\ (x,y)\in[0,2]\times[0,2] \end{cases}
e pede duas descrições: a forma analítica completa (isto é, como subconjunto de \mathbb{R}^{3}) e a descrição geométrica (o que essa equação representa em termos de superfície).

Passo 2

Para dar a forma analítica completa, basta explicitar todas as coordenadas em \mathbb{R}^{3}. Como a primeira equação impõe z = x^2 + y^2 e o par (x,y) varia sobre o quadrado de vértices (0,0),(2,0),(0,2),(2,2), temos
\Sigma = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z = x^{2}+y^{2},\;0\le x\le2,\;0\le y\le2\}.

Passo 3

Para a descrição geométrica, reconhecemos que z=x^{2}+y^{2} é um paraboloide circular. A condição (x,y)\in[0,2]\times[0,2] restringe esse paraboloide ao “quadradinho” no primeiro quadrante do plano xy. Logo, geometricamente, \Sigma é o pedaço de superfície do paraboloide z=x^{2}+y^{2} acima do quadrado de lado 2 em xy.

Resposta

Forma analítica completa:
\Sigma = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z = x^{2}+y^{2},\;0\le x\le2,\;0\le y\le2\}.
Descrição geométrica: é o patch (o pedaço) do paraboloide z=x^{2}+y^{2} limitado pelo quadrado [0,2]\times[0,2] no plano xy, isto é, a “porção” do paraboloide no primeiro quadrante com x e y de 0 a 2.

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