Exercício 3) Dado o conjunto \Sigma descreva-o nas formas analítica completa e geométrica.
\Sigma:\left\{\begin{array}{l}z=2-(x-1)^{2}-(y-1)^{2} \\\ (x, y) \in[0,2] \times[0,2]\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado define o conjunto \Sigma em \mathbb{R}^3 por
\begin{cases} z = 2 - (x-1)^2 - (y-1)^2,\\\ (x,y)\in[0,2]\times[0,2]. \end{cases}
O objetivo é dar duas descrições:
– a forma analítica completa (notação de conjunto e, opcionalmente, parametrização),
– a descrição geométrica.

Passo 2

Para a forma analítica completa em notação de conjunto, escrevemos
\Sigma = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = 2 - (x-1)^2 - (y-1)^2,\;0 \le x \le 2,\;0 \le y \le 2\bigr\}.

Passo 3

Uma parametrização, que é outra forma analítica, é dada por
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\;v,\;2 - (u-1)^2 - (v-1)^2\bigr), \quad (u,v)\in[0,2]\times[0,2].

Passo 4

Geométrica­mente, \Sigma é a parte de um paraboloide elíptico voltado para baixo, cuja equação é
z = 2 - (x-1)^2 - (y-1)^2,
com vértice em (1,1,2), e truncada pelos planos verticais x=0, x=2, y=0 e y=2.

Resposta

Forma analítica completa:
\Sigma = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = 2 - (x-1)^2 - (y-1)^2,\;0 \le x \le 2,\;0 \le y \le 2\bigr\}.
Forma geométrica:
É a porção do paraboloide elíptico invertido de equação z = 2 - (x-1)^2 - (y-1)^2, com vértice em (1,1,2), limitada lateralmente pelos planos x=0, x=2, y=0 e y=2.

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