Exercício 3. Calcule a derivada:
f(x)=x^{2} e^{x} \tan x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{2}e^{x}\tan x.
O conteúdo é derivação de produto de funções e usamos também a derivada de \tan x, que é \operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Escrevemos
u(x)=x^{2}e^{x}, \quad v(x)=\tan x,
e aplicamos a regra do produto
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Para u(x)=x^{2}e^{x} usamos regra do produto:
u'(x)=\bigl(x^{2}\bigr)'e^{x}+x^{2}\bigl(e^{x}\bigr)' =2x e^{x}+x^{2}e^{x} =x e^{x}(2+x).

Passo 4

Para v(x)=\tan x lembramos que
v'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+uv' temos
f'(x) =x e^{x}(2+x)\tan x +x^{2}e^{x}\operatorname{sec}^{2}x.
Fatorando x e^{x},
f'(x) =x e^{x}\bigl((2+x)\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x\bigr).

Resposta

f'(x) =x e^{x}\bigl((2+x)\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x\bigr).

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