Exercício 5. Dados A=\{-2,-1,1\} e B=\{x \in \mathbb{Z}: x \leq-4 \vee x>0\} e considerando \mathbb{Z} como universo de discurso, determine os conjuntos abaixo
A \cup B

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Conjuntos dados: A=\{-2,-1,1\}
B=\{x\in\mathbb{Z} \mid x\le -4 \vee x>0\}
  • Universo de discurso: \mathbb{Z} (todos os inteiros).
  • Pergunta: determine o conjunto A\cup B.

Passo 2

Definição importante (vai ser usada na prova): a união de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B (ou a ambos). Em símbolos:
A\cup B=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\in A \text{ ou } x\in B\}.
Nota: o “ou” aqui é inclusivo — se x estiver em ambos, ele aparece uma única vez na união.

Passo 3

Vamos entender concretamente o conjunto B. A descrição x\le -4 \vee x>0 significa que B contém todos os inteiros menores ou iguais a -4 e também todos os inteiros estritamente positivos. Então podemos escrever B explicitamente como:
B=\{\dots,-6,-5,-4\}\cup\{1,2,3,\dots\}.
Repare que, por essa descrição, o elemento 1 está em B.

Passo 4

Agora listei A explicitamente:
A=\{-2,-1,1\}.
Compare com B: o elemento 1 está tanto em A quanto em B; já -2 e -1 não pertencem a B (porque B tem inteiros \le -4 e >0, e -2,-1 não satisfazem nenhuma dessas condições).

Passo 5

Aplicando a definição de união, pegamos todos os elementos de B e também os elementos de A que ainda não estão em B. Assim:
A\cup B=\{\dots,-6,-5,-4\}\cup\{-2,-1\}\cup\{1,2,3,\dots\}.
Organizando em ordem crescente:
A\cup B=\{\dots,-6,-5,-4,-2,-1,1,2,3,\dots\}.

Passo 6

Uma forma mais compacta e elegante de descrever esse conjunto: comparando com \mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,\dots\}, vemos que os únicos inteiros que não aparecem em A\cup B são -3 e 0. Portanto
A\cup B=\mathbb{Z}\setminus\{-3,0\}.

Resposta

\{\dots,-6,-5,-4,-2,-1,1,2,3,\dots\} \
\mathbb{Z}\setminus\{-3,0\}

Exercícios relacionados