Exercício 4. Considerando um universo mathbb{U}={1,2,3, \ldots, 8} e conjuntos A={1,2,3,4}, B=\left\{x \in \mathbb{U}:(x-2)^{2}(x-3)=0\right\} e C={x \in \mathbb{U}: x é par }), determine:
A \cap B

Passo 1

Dados do enunciado:
\mathbb{U}=\{1,2,3,\ldots,8\}
A=\{1,2,3,4\}
B=\{\,x\in\mathbb{U}:(x-2)^{2}(x-3)=0\,\}
C=\{\,x\in\mathbb{U}:\;x\\ \text{é par}\,\}é
O que se pede: determinar A\cap B.

Passo 2

Entendendo B. A notação B=\{x\in\mathbb{U}:(x-2)^{2}(x-3)=0\} significa que B é o conjunto de elementos x do universo \mathbb{U} que satisfazem a equação
(x-2)^{2}(x-3)=0.
Regra fundamental (produto nulo): se um produto é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Aqui os fatores são (x-2)^{2} e (x-3). Então resolvemos cada fator igual a zero.

Passo 3

Resolver os fatores:
(x-2)^{2}=0 \implies x-2=0 \implies x=2.
x-3=0 \implies x=3.
Observação didática: (x-2)^{2}=0 tem raiz x=2 com multiplicidade 2, mas para pertencer ao conjunto só interessa que x=2 seja solução — multiplicidade não gera elementos repetidos no conjunto.

Passo 4

Como x=2 e x=3 são soluções e ambos pertencem ao universo \mathbb{U} (pois 2,3\in\{1,\dots,8\}), concluímos que
B=\{2,3\}.

Passo 5

Definição de interseção: A\cap B é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Temos A=\{1,2,3,4\} e B=\{2,3\}. Verificando elemento a elemento de B:
2\in A\quad\text{e}\quad 3\in A.
Portanto os elementos comuns são 2 e 3, isto é
A\cap B=\{2,3\}.

Resposta

\{2,3\}

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