Exercício 3. Dados dois conjuntos A e B, sua diferença simétrica é um novo conjunto A \Delta B, definido como:
A \Delta B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) .
Determine A \Delta B quando A=\{a, b, c, d\} e B=\{c, d, e, f, g, h\}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a diferença simétrica A \Delta B para os conjuntos A e B dados.
As informações fornecidas são:
A=\{a,b,c,d\}
B=\{c,d,e,f,g,h\}
A definição dada é:
A \Delta B = (A\setminus B)\cup(B\setminus A).

Passo 2

Entendendo a definição (aula rapidinha e prática): A\setminus B significa "os elementos que estão em A e não estão em B". Do mesmo modo, B\setminus A são os elementos que estão em B e não em A. A diferença simétrica junta esses dois conjuntos: é tudo que está em exatamente um dos conjuntos (como um XOR). Outra fórmula equivalente é
A \Delta B = (A\cup B)\setminus(A\cap B),
ou seja, a união menos a interseção. Vou usar a definição dada e calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular A\setminus B. Começo olhando elemento a elemento de A:
  • a está em A e não está em B → permanece.
  • b está em A e não está em B → permanece.
  • c está em A mas também está em B → não inclui em A\setminus B.
  • d está em A mas também está em B → não inclui em A\setminus B.
    Logo
A\setminus B = \{a,b\}.

Passo 4

Calcular B\setminus A. Olhando os elementos de B:
  • c está em B e também em A → não inclui.
  • d está em B e também em A → não inclui.
  • e está em B e não em A → inclui.
  • f está em B e não em A → inclui.
  • g está em B e não em A → inclui.
  • h está em B e não em A → inclui.
    Portanto
B\setminus A = \{e,f,g,h\}.

Passo 5

Agora aplico a união da definição:
A\Delta B = (A\setminus B)\cup(B\setminus A).
Substituindo os resultados:
A\Delta B = \{a,b\}\cup\{e,f,g,h\} = \{a,b,e,f,g,h\}.
Como checagem rápida, usando a fórmula alternativa: A\cap B=\{c,d\} e A\cup B=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}. Tirando a interseção da união sobra exatamente \{a,b,e,f,g,h\}, mesma resposta — ótimo sinal de consistência.

Resposta

\{a,b,e,f,g,h\}

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