Exercício 5. Dados A=\{-2,-1,1\} e B=\{x \in \mathbb{Z}: x \leq-4 \vee x>0\} e considerando \mathbb{Z} como universo de discurso, determine os conjuntos abaixo
\mathcal{P}\left(A \cap B^{c}\right)

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos abaixo e pede a potência (conjunto das partes) de uma interseção envolvendo o complemento:
A=\{-2,-1,1\}
B=\{x\in\mathbb{Z}: x\le -4\\ \vee\\ x>0\}
O universo de discurso é \mathbb{Z}. A pergunta é calcular
\mathcal{P}\bigl(A\cap B^{c}\bigr).
Listei as informações importantes: os elementos de A, a descrição por condição de B (números inteiros \le -4 ou >0), e que o complemento B^{c} é tomado em relação a \mathbb{Z}. Nenhum outro dado é necessário.

Passo 2

Vamos entender e calcular B^{c}. Por definição, o complemento de B em \mathbb{Z} é o conjunto de inteiros que não satisfazem a condição que define B. Escrevendo isso logicamente:
B=\{x\in\mathbb{Z}:\; x\le -4 \\ \vee\\ x>0\}.
Negando a condição x\le -4 \\ \vee\\ x>0 usamos a equivalência lógica \neg(P\vee Q)\equiv (\neg P)\wedge(\neg Q). Assim
B^{c}=\{x\in\mathbb{Z}:\; x>-4 \\ \wedge\\ x\le 0\}.
Agora simplificamos a desigualdade x>-4 para inteiros: isso equivale a x\ge -3. Portanto
B^{c}=\{x\in\mathbb{Z}:\; -3\le x\le 0\}.

Passo 3

Listando explicitamente os inteiros entre -3 e 0, inclusive, obtemos
B^{c}=\{-3,-2,-1,0\}.
Aqui tomei cada inteiro no intervalo e escrevi-o como elemento do conjunto.

Passo 4

Agora calculamos a interseção A\cap B^{c}. Lembrando que a interseção de dois conjuntos contém exatamente os elementos que pertencem a ambos. Temos
A=\{-2,-1,1\},\qquad B^{c}=\{-3,-2,-1,0\}.
Verificando elemento a elemento: -2\in B^{c}, -1\in B^{c}, mas 1\notin B^{c}. Logo
A\cap B^{c}=\{-2,-1\}.

Passo 5

Agora vamos recordar o que é a potência (conjunto das partes). Para um conjunto finito S com n elementos, \mathcal{P}(S) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de S. A quantidade de subconjuntos é 2^{n}. No nosso caso, S=A\cap B^{c} tem n=2 elementos, então \mathcal{P}(S) terá 2^{2}=4 subconjuntos.

Passo 6

Listamos todos os subconjuntos de A\cap B^{c}=\{-2,-1\}. São:
\varnothing\quad(\text{o conjunto vazio}),
\{-2\},
\{-1\},
\{-2,-1\}\quad(\text{o próprio conjunto}).ó

Passo 7

Portanto escrevemos a potência explicitamente:
\mathcal{P}\bigl(A\cap B^{c}\bigr)=\{\varnothing,\{-2\},\{-1\},\{-2,-1\}\}.

Resposta

\mathcal{P}\bigl(A\cap B^{c}\bigr)=\{\varnothing,\{-2\},\{-1\},\{-2,-1\}\}

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