Exercício 9. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
0 \in \mathbb{Q}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação 0 \in \mathbb{Q} é verdadeira ou falsa, e justificar brevemente. Informação dada: apenas a afirmação sobre o número 0 pertencer ao conjunto dos números racionais \mathbb{Q}. Temos que justificar usando a definição de \mathbb{Q} e propriedades básicas de números inteiros e frações.

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender) a definição de número racional de forma bem direta e prática. Um número é racional quando pode ser escrito como uma fração \dfrac{p}{q} em que p e q são inteiros e q \neq 0. Aqui:
  • p representa o numerador (um inteiro qualquer),
  • q representa o denominador (um inteiro diferente de zero, porque divisão por zero não faz sentido).
    O conjunto dos inteiros é denotado por \mathbb{Z}. Em particular, 0 \in \mathbb{Z}.

Passo 3

Agora aplicamos a definição ao número 0. Podemos escrever 0 como uma fração com numerador inteiro e denominador não nulo. Um exemplo simples e direto é
0 = \dfrac{0}{1}.
Aqui 0 (numerador) é um inteiro, 1 (denominador) é um inteiro diferente de zero, logo a representação satisfaz a definição de número racional. Observação útil: na verdade vale
0 = \dfrac{0}{q}
para qualquer inteiro q \neq 0. A única representação inválida seria \dfrac{0}{0}, que é indefinida; mas não precisamos disso porque já temos \dfrac{0}{1}.

Passo 4

Outra maneira de ver é usar a inclusão padrão \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}: todo inteiro n pode ser identificado com a fração \dfrac{n}{1}, portanto todo inteiro é também um número racional. Como 0 \in \mathbb{Z}, segue que 0 \in \mathbb{Q}.

Passo 5

Resumo didático rápido (para a prova): quando quiser checar se um inteiro n pertence a \mathbb{Q}, basta escrever n = \dfrac{n}{1}. Isso funciona para 0 também. Mentalmente guarde: inteiros “viram” racionais dividindo por 1.

Resposta

Verdadeiro

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