Exercício 9. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
0.474747 \ldots \in \mathbb{Q}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
0.474747\ldots \in \mathbb{Q}
Informações dadas que importam: a expansão decimal apresentada é infinita e repetitiva — os dígitos ``47’’ se repetem indefinidamente. Não há outra figura ou tabela: só o número decimal repetido.

Passo 2

O que significa pertencer a \mathbb{Q}? Vou explicar de forma didática e direta.
\mathbb{Q} é o conjunto dos números racionais, isto é, números que podem ser escritos como uma fração
\frac{p}{q}
onde p e q são inteiros e q\neq 0. Uma propriedade importante e prática para provas: um número é racional se, e somente se, sua representação decimal é finita (termina) ou periódica (possui um bloco de dígitos que se repete indefinidamente). Vou mostrar por quê de forma intuitiva: ao dividir um inteiro por outro (algoritmo da divisão), os restos possíveis são finitos, então mais cedo ou mais tarde um resto se repete e a parte decimal entra em ciclo — isto gera uma repetição periódica. Inversamente, qualquer decimal periódico pode ser transformado em uma fração por um truque algébrico simples (vou fazer isso no próximo passo).

Passo 3

Vamos aplicar o truque algébrico para transformar um decimal periódico em fração. Seja
x = 0.474747\ldots
Aqui o período tem dois dígitos: o bloco repetido é ``47’’. Para eliminar a repetição, multiplicamos por 100 (porque 100=10^{2}, e o período tem 2 dígitos):
100x = 47.474747\ldots

Passo 4

Agora subtraímos as duas igualdades para que as partes decimais periódicas cancelem:
100x - x = 47.474747\ldots - 0.474747\ldots
No lado esquerdo obtemos 99x. No direito, as partes decimais iguais se anulam, sobrando apenas 47. Assim:
99x = 47.

Passo 5

Isolando x temos
x = \frac{47}{99}.
Verificamos se dá para simplificar a fração: 47 é primo e não divide 99 (pois 99=9\cdot 11 e 47\neq 3,9,11), então a fração já está em sua forma irredutível. Assim escrevemos
0.474747\ldots = \frac{47}{99}.

Passo 6

Concluímos: como 0.474747\ldots pode ser escrito como a fração \dfrac{47}{99} (com numerador e denominador inteiros e denominador não nulo), ele pertence ao conjunto dos racionais \mathbb{Q}. Lembra: todo decimal periódico é racional — esse é o argumento prático para a prova. Força aí, você já resolveu o raciocínio básico que cai direto em várias questões!

Resposta

Verdadeiro — \;0.474747\ldots = \dfrac{47}{99}

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