Exercício 9. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Informações dadas que importam: a expansão decimal apresentada é infinita e repetitiva — os dígitos ``47’’ se repetem indefinidamente. Não há outra figura ou tabela: só o número decimal repetido.
Passo 2
O que significa pertencer a
? Vou explicar de forma didática e direta.
é o conjunto dos números racionais, isto é, números que podem ser escritos como uma fração
onde
e
são inteiros e
. Uma propriedade importante e prática para provas: um número é racional se, e somente se, sua representação decimal é finita (termina) ou periódica (possui um bloco de dígitos que se repete indefinidamente). Vou mostrar por quê de forma intuitiva: ao dividir um inteiro por outro (algoritmo da divisão), os restos possíveis são finitos, então mais cedo ou mais tarde um resto se repete e a parte decimal entra em ciclo — isto gera uma repetição periódica. Inversamente, qualquer decimal periódico pode ser transformado em uma fração por um truque algébrico simples (vou fazer isso no próximo passo).
Passo 3
Vamos aplicar o truque algébrico para transformar um decimal periódico em fração. Seja
Aqui o período tem dois dígitos: o bloco repetido é ``47’’. Para eliminar a repetição, multiplicamos por
(porque
, e o período tem 2 dígitos):
Passo 4
Agora subtraímos as duas igualdades para que as partes decimais periódicas cancelem:
No lado esquerdo obtemos
. No direito, as partes decimais iguais se anulam, sobrando apenas
. Assim:
Passo 5
Isolando
temos
Verificamos se dá para simplificar a fração:
é primo e não divide
(pois
e
), então a fração já está em sua forma irredutível. Assim escrevemos
Passo 6
Concluímos: como
pode ser escrito como a fração
(com numerador e denominador inteiros e denominador não nulo), ele pertence ao conjunto dos racionais
. Lembra: todo decimal periódico é racional — esse é o argumento prático para a prova. Força aí, você já resolveu o raciocínio básico que cai direto em várias questões!
Resposta
Verdadeiro —