Exercício 9. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
r \in \mathbb{Q} \Rightarrow-r \in \mathbb{Q}

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se a afirmação \;r\in\mathbb{Q}\Rightarrow -r\in\mathbb{Q}\; é verdadeira ou falsa e que eu justifique brevemente.
Informações dadas: a variável r é um número qualquer; \mathbb{Q} é o conjunto dos números racionais.
O que precisa ser respondido: determinar a veracidade da implicação e justificar (mostrar por que, no caso verdadeiro, sempre ocorre, ou dar um contraexemplo, no caso falso).

Passo 2

Lembrete (definição essencial): um número x pertence a \mathbb{Q} se, e somente se, existem inteiros p e q com q\neq 0 tais que
x=\frac{p}{q}.
Aqui p e q são inteiros ( p,q\in\mathbb{Z}) e a condição q\neq 0 evita divisão por zero. Essa é a definição que vou usar na prova.

Passo 3

Começo a prova assumindo a hipótese da implicação: suponha que r\in\mathbb{Q}. Pela definição do passo anterior, isso significa que existem inteiros a e b com b\neq 0 tais que
r=\frac{a}{b}.

Passo 4

Calculo -r a partir da expressão de r:
-r = -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b}.
Agora aplico duas observações básicas:
  1. Se a\in\mathbb{Z} então -a\in\mathbb{Z} — os inteiros são fechados por negação.
  2. b\neq 0 continua valendo, ou seja, o denominador não ficou zero.
Portanto -r é uma razão \dfrac{-a}{b} de dois inteiros com denominador distinto de zero, logo, pela definição, -r\in\mathbb{Q}.

Passo 5

Para fixar a ideia, alguns exemplos rápidos:
  • Se r=3 (que é \dfrac{3}{1}), então -r=-3 (que é \dfrac{-3}{1}), também racional.
  • Se r=\dfrac{2}{5}, então -r=-\dfrac{2}{5}, também racional.
  • Se r=0 (que é \dfrac{0}{1}), então -r=0, também racional.
    Esses exemplos ilustram o argumento geral do passo anterior.

Passo 6

Conclusão lógica: a implicação \;r\in\mathbb{Q}\Rightarrow -r\in\mathbb{Q}\; é verdadeira porque a negação de um numerador inteiro continua sendo inteiro e o denominador permanece não nulo, garantindo que -r tenha a forma necessária para ser racional.

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados