Exercício 9. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando brevemente:
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se a afirmação
é verdadeira ou falsa e que eu justifique brevemente.
Informações dadas: a variável é um número qualquer;
é o conjunto dos números racionais.
O que precisa ser respondido: determinar a veracidade da implicação e justificar (mostrar por que, no caso verdadeiro, sempre ocorre, ou dar um contraexemplo, no caso falso).
Informações dadas: a variável
O que precisa ser respondido: determinar a veracidade da implicação e justificar (mostrar por que, no caso verdadeiro, sempre ocorre, ou dar um contraexemplo, no caso falso).
Passo 2
Lembrete (definição essencial): um número
pertence a
se, e somente se, existem inteiros
e
com
tais que
Aqui
e
são inteiros (
) e a condição
evita divisão por zero. Essa é a definição que vou usar na prova.
Passo 3
Começo a prova assumindo a hipótese da implicação: suponha que
. Pela definição do passo anterior, isso significa que existem inteiros
e
com
tais que
Passo 4
Calculo
a partir da expressão de
:
Agora aplico duas observações básicas:
- Se
então — os inteiros são fechados por negação. -
continua valendo, ou seja, o denominador não ficou zero.
Portanto
é uma razão
de dois inteiros com denominador distinto de zero, logo, pela definição,
.
Passo 5
Para fixar a ideia, alguns exemplos rápidos:
- Se
(que é ), então (que é ), também racional. - Se
, então , também racional. - Se
(que é ), então , também racional.
Esses exemplos ilustram o argumento geral do passo anterior.
Passo 6
Conclusão lógica: a implicação
é verdadeira porque a negação de um numerador inteiro continua sendo inteiro e o denominador permanece não nulo, garantindo que
tenha a forma necessária para ser racional.
Resposta
Verdadeira.