Exercício 6. As leis de De Morgan dizem que para quaisquer conjuntos A, B vale que
Considerando \mathbb{U}=\{n \in \mathbb{Z}:-10 \leq n \leq 10\} como conjunto universo, verifique as leis de De Morgan para os seguintes conjuntos.
a) A=\{-2,-1,0,1,2\} e B=\{x \in \mathbb{U}: x é par \}
b) A=\{n \in \mathbb{U}: 3 \mid n\} e B=\{4 n: n \in\{-2,-1,0,1,2\}\}
(i) (A \cup B)^{c}=A^{c} \cap B^{c}
(ii) (A \cap B)^{c}=A^{c} \cup B^{c}

Passo 1

O enunciado pede que eu verifique as leis de De Morgan nas duas situações a) e b). Especificamente, para cada caso devo verificar:
(i) (A \cup B)^{c}=A^{c} \cap B^{c}
(ii) (A \cap B)^{c}=A^{c} \cup B^{c}
Dados fornecidos (conjunto universo e os conjuntos):
\mathbb{U}=\{n\in\mathbb{Z}:-10\le n\le 10\}
a) A=\{-2,-1,0,1,2\},\qquad B=\{x\in\mathbb{U}: x\text{ é par}\}é
b) A=\{n\in\mathbb{U}:3\mid n\},\qquad B=\{4n:n\in\{-2,-1,0,1,2\}\}

Passo 2

Primeiro, vou lembrar (de forma prática) o que cada operação significa — isso ajuda a fazer as operações sem erro na prova.
  • União: \,A\cup B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B (ou aos dois). Ex.: se A=\{1,2\} e B=\{2,3\} então A\cup B=\{1,2,3\}.
  • Interseção: \,A\cap B é o conjunto dos elementos que pertencem a A e a B ao mesmo tempo. Ex.: com os mesmos A,B acima, A\cap B=\{2\}.
  • Complemento relativo a \mathbb{U}: \,A^{c} significa todos os elementos de \mathbb{U} que não estão em A. Em símbolos, A^{c}=\mathbb{U}\setminus A.
As leis de De Morgan dizem, de modo geral:
(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}\quad\text{e}\quad (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.
Vou verificar essas igualdades calculando explicitamente os lados esquerdo e direito em cada item e mostrando que coincidem.

Passo 3

Parte a) — primeiro construo B (pares em \mathbb{U}). Os inteiros pares entre -10 e 10 são:
B=\{-10,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10\}.
(Isto veio diretamente da definição de B como “ x\in\mathbb{U} é par”.)

Passo 4

Calculo A\cup B. Temos A=\{-2,-1,0,1,2\}. Juntando os elementos de A e B (sem repetição):
A\cup B=\{-10,-8,-6,-4,-2,-1,0,1,2,4,6,8,10\}.
Expliquei: peguei todos os pares listados em B e acrescentei os que estão em A mas não em B (que são -1 e 1).

Passo 5

Agora o complemento (A\cup B)^{c}=\mathbb{U}\setminus(A\cup B). Subtraio da reta -10,\dots,10 os elementos do A\cup B que acabei de listar. Os elementos restantes (os ímpares que não são -1 nem 1) são:
(A\cup B)^{c}=\{-9,-7,-5,-3,3,5,7,9\}.

Passo 6

Calculo A^{c} e B^{c} separadamente.
  • A^{c}=\mathbb{U}\setminus A. Como A=\{-2,-1,0,1,2\}, temos todos os inteiros de -10 a 10 exceto esses cinco:
A^{c}=\{-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-1,1,3,4,5,6,7,8,9,10\}.
  • B^{c}=\mathbb{U}\setminus B. Como B são os pares, B^{c} são os ímpares em \mathbb{U}:
B^{c}=\{-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9\}.

Passo 7

Calculo A^{c}\cap B^{c}: são os elementos que estão em A^{c} e também em B^{c}. Como B^{c} já lista todos os ímpares, e alguns ímpares (-1,1) estão em A (logo não em A^{c}), ao intersectar com A^{c} eu removo -1 e 1 da lista de ímpares. Assim:
A^{c}\cap B^{c}=\{-9,-7,-5,-3,3,5,7,9\}.
Comparando com o resultado do Passo 5, vemos que
(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.
Logo a igualdade (i) é verdadeira para o item a).

Passo 8

Agora verifico (ii) para a). Primeiro A\cap B: são os elementos de A que também são pares. Em A=\{-2,-1,0,1,2\} os pares são -2,0,2, então
A\cap B=\{-2,0,2\}.
O complemento é
(A\cap B)^{c}=\mathbb{U}\setminus\{-2,0,2\},
isto é, todos os inteiros de -10 a 10 excepto -2,0,2.

Passo 9

Calculo A^{c}\cup B^{c}. Já tenho A^{c} e B^{c} (Passo 6). A união deles contém tudo que está em A^{c} ou em B^{c}. Note que os únicos elementos que não aparecem nem em A^{c} nem em B^{c} são exatamente os que estavam em A\cap B (porque esses estão em A e em B, logo não em A^{c} nem em B^{c}). Portanto
A^{c}\cup B^{c}=\mathbb{U}\setminus\{-2,0,2\}=(A\cap B)^{c}.
Assim a igualdade (ii) também é verdadeira para o item a).

Passo 10

Parte b) — construo os conjuntos a partir das definições.
  • A=\{n\in\mathbb{U}:3\mid n\} são os múltiplos de 3 entre -10 e 10:
A=\{-9,-6,-3,0,3,6,9\}.
  • B=\{4n:n\in\{-2,-1,0,1,2\}\}. Calculo explicitamente:
4\cdot(-2)=-8,\;4\cdot(-1)=-4,\;4\cdot 0=0,\;4\cdot1=4,\;4\cdot2=8,
logo
B=\{-8,-4,0,4,8\}.
(Esses valores vieram diretamente da definição de B no enunciado.)

Passo 11

Calculo A\cup B juntando os elementos de A e B:
A\cup B=\{-9,-8,-6,-4,-3,0,3,4,6,8,9\}.
O complemento é
(A\cup B)^{c}=\mathbb{U}\setminus(A\cup B)=\{-10,-7,-5,-2,-1,1,2,5,7,10\}.

Passo 12

Calculo A^{c} e B^{c}.
  • A^{c}=\mathbb{U}\setminus A é todo -10\ldots10 exceto os múltiplos de 3:
A^{c}=\{-10,-8,-7,-5,-4,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10\}.
  • B^{c}=\mathbb{U}\setminus B é todo -10\ldots10 exceto -8,-4,0,4,8:
B^{c}=\{-10,-9,-7,-6,-5,-3,-2,-1,1,2,3,5,6,7,9,10\}.

Passo 13

Interseção A^{c}\cap B^{c}: são os elementos que não pertencem nem a A nem a B. Se você pensar, isso é exatamente \mathbb{U}\setminus(A\cup B). Fazendo a interseção entre as listas do Passo 12 obtemos:
A^{c}\cap B^{c}=\{-10,-7,-5,-2,-1,1,2,5,7,10\}.
Comparando com o Passo 11, vemos que
(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.
Portanto (i) é verdadeira para o item b).

Passo 14

Finalmente verifico (ii) para b). Primeiro A\cap B: elementos comuns entre múltiplos de 3 e o conjunto \{-8,-4,0,4,8\}. O único número comum é 0, pois 0 é múltiplo de qualquer inteiro. Então
A\cap B=\{0\}.
Seu complemento é
(A\cap B)^{c}=\mathbb{U}\setminus\{0\}.
Agora A^{c}\cup B^{c} (união das listas do Passo 12) é tudo em \mathbb{U} que não está simultaneamente em A e em B; como vimos que A\cap B=\{0\}, a união dos complementos é exatamente \mathbb{U}\setminus\{0\}. Portanto
(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.
Logo (ii) também é verdadeira para o item b).

Resposta

a) (i) Verdadeiro
a) (ii) Verdadeiro
b) (i) Verdadeiro
b) (ii) Verdadeiro

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