Exercício 6. As leis de De Morgan dizem que para quaisquer conjuntos
vale que
Considerando
como conjunto universo, verifique as leis de De Morgan para os seguintes conjuntos.
a)
e
é par
b)
e
(i)
(ii)
Considerando
a)
b)
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique as leis de De Morgan nas duas situações a) e b). Especificamente, para cada caso devo verificar:
(i)
(ii)
(i)
(ii)
Dados fornecidos (conjunto universo e os conjuntos):
a)
b)
Passo 2
Primeiro, vou lembrar (de forma prática) o que cada operação significa — isso ajuda a fazer as operações sem erro na prova.
- União:
é o conjunto de todos os elementos que pertencem a ou a (ou aos dois). Ex.: se e então . - Interseção:
é o conjunto dos elementos que pertencem a e a ao mesmo tempo. Ex.: com os mesmos acima, . - Complemento relativo a
: significa todos os elementos de que não estão em . Em símbolos, .
As leis de De Morgan dizem, de modo geral:
Vou verificar essas igualdades calculando explicitamente os lados esquerdo e direito em cada item e mostrando que coincidem.
Passo 3
Parte a) — primeiro construo
(pares em
). Os inteiros pares entre
e
são:
(Isto veio diretamente da definição de
como “
é par”.)
Passo 4
Calculo
. Temos
. Juntando os elementos de
e
(sem repetição):
Expliquei: peguei todos os pares listados em
e acrescentei os que estão em
mas não em
(que são
e
).
Passo 5
Agora o complemento
. Subtraio da reta
os elementos do
que acabei de listar. Os elementos restantes (os ímpares que não são
nem
) são:
Passo 6
Calculo
e
separadamente.
-
. Como , temos todos os inteiros de a exceto esses cinco:
-
. Como são os pares, são os ímpares em :
Passo 7
Calculo
: são os elementos que estão em
e também em
. Como
já lista todos os ímpares, e alguns ímpares
estão em
(logo não em
), ao intersectar com
eu removo
e
da lista de ímpares. Assim:
Comparando com o resultado do Passo 5, vemos que
Logo a igualdade (i) é verdadeira para o item a).
Passo 8
Agora verifico (ii) para a). Primeiro
: são os elementos de
que também são pares. Em
os pares são
, então
O complemento é
isto é, todos os inteiros de
a
excepto
.
Passo 9
Calculo
. Já tenho
e
(Passo 6). A união deles contém tudo que está em
ou em
. Note que os únicos elementos que não aparecem nem em
nem em
são exatamente os que estavam em
(porque esses estão em
e em
, logo não em
nem em
). Portanto
Assim a igualdade (ii) também é verdadeira para o item a).
Passo 10
Parte b) — construo os conjuntos a partir das definições.
-
são os múltiplos de entre e :
-
. Calculo explicitamente:
logo
(Esses valores vieram diretamente da definição de
no enunciado.)
Passo 11
Calculo
juntando os elementos de
e
:
O complemento é
Passo 12
Calculo
e
.
-
é todo exceto os múltiplos de :
-
é todo exceto :
Passo 13
Interseção
: são os elementos que não pertencem nem a
nem a
. Se você pensar, isso é exatamente
. Fazendo a interseção entre as listas do Passo 12 obtemos:
Comparando com o Passo 11, vemos que
Portanto (i) é verdadeira para o item b).
Passo 14
Finalmente verifico (ii) para b). Primeiro
: elementos comuns entre múltiplos de
e o conjunto
. O único número comum é
, pois
é múltiplo de qualquer inteiro. Então
Seu complemento é
Agora
(união das listas do Passo 12) é tudo em
que não está simultaneamente em
e em
; como vimos que
, a união dos complementos é exatamente
. Portanto
Logo (ii) também é verdadeira para o item b).
Resposta
a) (i) Verdadeiro
a) (ii) Verdadeiro
b) (i) Verdadeiro
b) (ii) Verdadeiro
a) (ii) Verdadeiro
b) (i) Verdadeiro
b) (ii) Verdadeiro