Resolva as seguintes equações para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, para
, as três equações diferenciais abaixo (cada uma independente das outras):
As informações relevantes: cada equação é uma equação diferencial de primeira ordem (apenas
e
), o domínio pedido é
e devemos encontrar a solução geral
em cada caso (com constante arbitrária).
Passo 2
Vamos montar um método geral que funciona para equações do tipo
onde
e
são constantes e
.
- Dividimos ambos os lados por
(isso é permitido pois é constante diferente de zero nos casos do enunciado e evita divisão por zero):
- Agora reconheça que
é a derivada de . Ou seja,
Isso é uma identidade básica de derivadas: se
então a derivada de
é
.
- Integramos ambos os membros em relação a
:
Pelo item anterior a integral da esquerda é
. A integral da direita usa
(válido porque estamos em
). Assim
onde
é a constante de integração.
- Exponenciando ambos os lados:
Definindo
(ou, de modo mais simples, permitindo
real arbitrário), obtemos a forma geral da solução
onde
é uma constante real arbitrária. Observação: como
,
está bem definido e não precisamos nos preocupar com o sinal do
; o sinal de
fica embutido em
.
Esse é o método que usaremos para cada equação, identificando
e
em cada caso.
Passo 3
Aplicando o método à primeira equação
Aqui
e
. Pelo resultado geral
temos o expoente
Portanto a solução geral é
onde
é constante real. Verificação rápida: se
então
e
, ok.
Passo 4
Aplicando o método à segunda equação
Aqui
e
. O expoente é
Logo a solução geral é
onde
é constante real. Verificação:
. Substituindo em
dá
.
Passo 5
Aplicando o método à terceira equação
Aqui
e
. O expoente é
Portanto a solução geral é
onde
é constante real. Verificação:
e
.
Passo 6
Resumo do raciocínio que você pode usar na prova:
- Identifique a equação no formato
. - Passe para
. - Integre usando
(válido porque ). - Exponencie e introduza a constante multiplicativa
para obter .
Esse esquema é rápido e evita contas longas — ótimo quando a prova está pegando fogo. Força aí, você consegue!