Resolva as seguintes equações para x>0.
\begin{aligned} & -2 x y^{\prime}+2 y=0 \\ & +5 x y^{\prime}+4 y=0 \\ & -x y^{\prime}+5 y=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, para x>0, as três equações diferenciais abaixo (cada uma independente das outras):
-2x y'(x) + 2 y(x) = 0
5x y'(x) + 4 y(x) = 0
-x y'(x) + 5 y(x) = 0
As informações relevantes: cada equação é uma equação diferencial de primeira ordem (apenas y e y'), o domínio pedido é x>0 e devemos encontrar a solução geral y(x) em cada caso (com constante arbitrária).

Passo 2

Vamos montar um método geral que funciona para equações do tipo
a x\,y'(x) + b\,y(x) = 0,
onde a e b são constantes e x>0.
  1. Dividimos ambos os lados por a x (isso é permitido pois a é constante diferente de zero nos casos do enunciado e x>0 evita divisão por zero):
\frac{y'(x)}{y(x)} = -\frac{b}{a}\cdot\frac{1}{x}.
  1. Agora reconheça que \dfrac{y'(x)}{y(x)} é a derivada de \ln|y(x)|. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(\ln|y(x)|\big) = \frac{y'(x)}{y(x)}.
Isso é uma identidade básica de derivadas: se y\neq0 então a derivada de \ln|y| é y'/y.
  1. Integramos ambos os membros em relação a x:
\int \frac{y'(x)}{y(x)}\,dx = \int -\frac{b}{a}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Pelo item anterior a integral da esquerda é \ln|y(x)|. A integral da direita usa \int \frac{1}{x}\,dx = \ln x (válido porque estamos em x>0). Assim
\ln|y(x)| = -\frac{b}{a}\,\ln x + C,
onde C é a constante de integração.
  1. Exponenciando ambos os lados:
|y(x)| = e^{C}\,x^{-b/a}.
Definindo C_1 = \pm e^{C} (ou, de modo mais simples, permitindo C real arbitrário), obtemos a forma geral da solução
y(x) = C_1\,x^{-b/a},
onde C_1 é uma constante real arbitrária. Observação: como x>0, \ln x está bem definido e não precisamos nos preocupar com o sinal do x; o sinal de y fica embutido em C_1.
Esse é o método que usaremos para cada equação, identificando a e b em cada caso.

Passo 3

Aplicando o método à primeira equação
-2x y' + 2y = 0.
Aqui a = -2 e b = 2. Pelo resultado geral y(x)=C_1 x^{-b/a} temos o expoente
-\frac{b}{a} = -\frac{2}{-2} = 1.
Portanto a solução geral é
y(x) = C_1 x^{1} = C_1 x,
onde C_1 é constante real. Verificação rápida: se y=C_1 x então y'=C_1 e -2x y' + 2y = -2x(C_1) + 2(C_1 x)=0, ok.

Passo 4

Aplicando o método à segunda equação
5x y' + 4y = 0.
Aqui a = 5 e b = 4. O expoente é
-\frac{b}{a} = -\frac{4}{5}.
Logo a solução geral é
y(x) = C_2 x^{-4/5},
onde C_2 é constante real. Verificação: y'=C_2(-4/5)x^{-9/5}. Substituindo em 5x y'+4y 5x\cdot C_2(-4/5)x^{-9/5} + 4\cdot C_2 x^{-4/5} = -4 C_2 x^{-4/5}+4 C_2 x^{-4/5}=0.

Passo 5

Aplicando o método à terceira equação
- x y' + 5y = 0.
Aqui a = -1 e b = 5. O expoente é
-\frac{b}{a} = -\frac{5}{-1} = 5.
Portanto a solução geral é
y(x) = C_3 x^{5},
onde C_3 é constante real. Verificação: y'=5C_3 x^{4} e -x y' + 5y = -x(5C_3 x^{4}) + 5(C_3 x^{5}) = -5C_3 x^{5} + 5C_3 x^{5} = 0.

Passo 6

Resumo do raciocínio que você pode usar na prova:
  • Identifique a equação no formato a x y' + b y =0.
  • Passe para \dfrac{y'}{y} = -\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{1}{x}.
  • Integre usando \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln x (válido porque x>0).
  • Exponencie e introduza a constante multiplicativa C para obter y=C x^{-b/a}.
    Esse esquema é rápido e evita contas longas — ótimo quando a prova está pegando fogo. Força aí, você consegue!

Resposta

y(x)=C_1 x
y(x)=C_2 x^{-4/5}
y(x)=C_3 x^{5}

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