Exercício 8: A demanda por um produto para os próximos 4 períodos pode ser atendida por produção em horário normal ou produção em horas extras. A seguir, os dados de disponibilidade, demanda e custo da situação.
Período H.Normal H.Extras Demanda
1 90 50 100
2 100 60 190
3 120 80 210
4 110 70 160
Os custos unitários de produção para as horas normais e para as horas extras níveis em cada período são \ 4, $6 , respectivamente. O custo unitário de estocagem por período éáíé$ 0,50$. A produção de um determinado período pode atender à demanda de períodos posteriores. Modele matematicamente o problema de minimizar o custo total.

Passo 1

O que o problema pede e quais são os dados fornecidos (peguei estes números da tabela do enunciado).
  • O enunciado pede: modelar matematicamente (isto é, escrever um modelo de programação linear) que minimize o custo total de produzir e armazenar, atendendo as demandas dos 4 períodos quando a produção pode ser feita em horas normais ou horas extras e pode ser estocada para períodos futuros.
  • Dados por período (peguei estes números da tabela):
    • Período 1: capacidade horas normais 90, capacidade horas extras 50, demanda 100.
    • Período 2: capacidade horas normais 100, capacidade horas extras 60, demanda 190.
    • Período 3: capacidade horas normais 120, capacidade horas extras 80, demanda 210.
    • Período 4: capacidade horas normais 110, capacidade horas extras 70, demanda 160.
  • Custos unitários (peguei estes valores do enunciado):
    • custo por unidade produzida em horas normais: \$4 por unidade;
    • custo por unidade produzida em horas extras: \$6 por unidade;
    • custo de estocagem (holding) por unidade por período: \$0,50 por unidade por período.
  • Pressupostos implícitos que usarei (não foi dito o contrário no enunciado):
    • estoque inicial I_0 é zero (se houver estoque inicial diferente, basta alterar I_0 no modelo);
    • é permitido estoque de final de horizonte I_4 (o modelo vai decidir se vale a pena); tipicamente com custo de holding positivo o modelo não deixará estoque final desnecessário.

Passo 2

Definição das variáveis de decisão (escolha intuitiva e explícita)
Vou definir uma variável para cada tipo de produção em cada período e uma para o estoque ao final do período. Explico o que cada variável significa e por que preciso dela.
  • Para cada período t=1,2,3,4:
    • x_{t}^N: quantidade produzida no período t em horas normais. Significa “unidades produzidas em horário normal no período t”.
    • x_{t}^E: quantidade produzida no período t em horas extras. Significa “unidades produzidas em horas extras no período t”.
    • I_t: estoque (inventário) ao final do período t. Significa “quantidade de unidades guardadas após satisfazer a demanda do período t e que podem ser usadas nos próximos períodos”.
  • Estoque inicial: I_0. Vou assumir I_0=0 (se no exame der outro valor, substitui-se).
Observação prática: essas variáveis permitem representar quanto se produz em cada modo (normal/extra) e quanto sobra para frente. É a forma padrão em problemas “produção — estoque — demanda”.

Passo 3

Construindo a função objetivo (o que queremos minimizar) — explicação didática
O objetivo é minimizar o custo total composto por:
  • custo de produção em horas normais: para cada unidade produzida em horário normal paga-se \$4; portanto, no período t esse custo é 4\,x_{t}^N;
  • custo de produção em horas extras: para cada unidade produzida em horas extras paga-se \$6; portanto, no período t esse custo é 6\,x_{t}^E;
  • custo de estocagem: para cada unidade mantida em estoque ao final do período t paga-se \$0,50 por unidade por período; portanto, custo de holding no período t é 0,5\,I_t.
Somando sobre todos os períodos, a função objetivo é a soma dessas parcelas em t=1,\dots,4. Em forma matemática (explicando cada símbolo):
  • \min Z= minimiza-se a função Z;
  • \sum_{t=1}^{4} significa somar os custos de cada período t.
A forma é:
\min\; Z=\sum_{t=1}^{4}\left(4\,x_{t}^N + 6\,x_{t}^E + 0,5\,I_t\right).

Passo 4

Consumir a demanda: equações de balanço de estoque (a peça-chave do modelo) — explicação didática passo a passo
A lógica do balanço para cada período t é:
estoque anterior + produção do período = demanda do período + estoque final.
Em símbolos, para cada t=1,2,3,4:
I_{t-1} + x_{t}^N + x_{t}^E - D_t = I_t,
onde D_t é a demanda no período t. Explico cada termo:
  • I_{t-1}: quantidade disponível do estoque trazida do período anterior;
  • x_{t}^N + x_{t}^E: quantidade produzida no período t (soma normal + extra);
  • D_t: demanda do período t (essa quantidade precisa ser atendida neste ou em estoques anteriores);
  • I_t: estoque que sobra ao final do período t, para atender demandas futuras.
Agora substituo os valores das demandas que peguei da tabela:
  • D_1=100, D_2=190, D_3=210, D_4=160.
Escrevendo explicitamente para cada t:
  • Para t=1:
I_0 + x_{1}^N + x_{1}^E - 100 = I_1.
  • Para t=2:
I_1 + x_{2}^N + x_{2}^E - 190 = I_2.
  • Para t=3:
I_2 + x_{3}^N + x_{3}^E - 210 = I_3.
  • Para t=4:
I_3 + x_{4}^N + x_{4}^E - 160 = I_4.
Comentário prático: essas equações garantem que em todo período a demanda seja atendida, usando produção atual e estoques anteriores. Não é necessário “forçar” atendimento de demanda com inequações, porque equações de balanço mais a não-negatividade tornam isso explícito.

Passo 5

Restrições de capacidade (explicando por que existem)
Cada forma de produção tem um limite por período (peguei estes limites da tabela). Portanto, para cada t:
  • produção em horas normais não pode ultrapassar a capacidade normal do período:
0 \le x_{t}^N \le \text{cap}_t^N,
onde os valores \text{cap}_t^N vêm da tabela:
\text{cap}_1^N=90, \text{cap}_2^N=100, \text{cap}_3^N=120, \text{cap}_4^N=110.
  • produção em horas extras não pode ultrapassar a capacidade de horas extras do período:
0 \le x_{t}^E \le \text{cap}_t^E,
onde os valores \text{cap}_t^E vêm da tabela:
\text{cap}_1^E=50, \text{cap}_2^E=60, \text{cap}_3^E=80, \text{cap}_4^E=70.
Explicação: essas restrições refletem que só se pode produzir até a disponibilidade de horas normal/extra em cada período.

Passo 6

Restrições de não-negatividade e estoque inicial (detalhes finais)
  • Estoques não podem ser negativos:
I_t \ge 0\quad\text{para }t=1,2,3,4.
  • Produções não podem ser negativas:
x_{t}^N \ge 0,\quad x_{t}^E \ge 0\quad\text{para }t=1,2,3,4.
  • Estoque inicial: conforme mencionado, assumo
I_0 = 0.
Observação: se quiser impor que não haja estoque final (por exemplo a firma não quer deixar estoque sobrando), pode acrescentar I_4=0. Mas normalmente não é necessário porque o custo de holding positivo evita estoque final desnecessário.

Passo 7

Resumo do raciocínio e observações sobre solução
  • O modelo é um problema de programação linear: função objetivo linear e todas as restrições lineares.
  • Métodos de solução: simplex ou solver de PL (por exemplo Excel Solver, AMPL/CPLEX/Gurobi, R lpSolve) resolvem rapidamente; com 4 períodos é trivial de resolver à mão ou por inspeção.
  • Interpretação econômica: modelo escolhe quanto produzir em horário normal (mais barato) até seu limite, depois completa com horas extras se necessário, e decide se compensa antecipar produção (produzir antes e estocar) quando o custo extra de holding é menor que o custo adicional de produzir depois em horas extras. A equação de balanço é a que assegura o atendimento de demanda.

Resposta

\begin{aligned} \min\; & Z=\sum_{t=1}^{4}\left(4\,x_{t}^N + 6\,x_{t}^E + 0,5\,I_t\right)\\[4pt] \text{s.a.}\quad & I_0 + x_{1}^N + x_{1}^E - 100 = I_1,\\[4pt] & I_1 + x_{2}^N + x_{2}^E - 190 = I_2,\\[4pt] & I_2 + x_{3}^N + x_{3}^E - 210 = I_3,\\[4pt] & I_3 + x_{4}^N + x_{4}^E - 160 = I_4,\\[4pt] & 0 \le x_{1}^N \le 90,\quad 0 \le x_{1}^E \le 50,\\[4pt] & 0 \le x_{2}^N \le 100,\quad 0 \le x_{2}^E \le 60,\\[4pt] & 0 \le x_{3}^N \le 120,\quad 0 \le x_{3}^E \le 80,\\[4pt] & 0 \le x_{4}^N \le 110,\quad 0 \le x_{4}^E \le 70,\\[4pt] & I_t \ge 0,\; x_{t}^N \ge 0,\; x_{t}^E \ge 0\quad\text{para }t=1,2,3,4,\\[4pt] & I_0=0. \end{aligned}]

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