Exercício 8: A demanda por um produto para os próximos 4 períodos pode ser atendida por produção em horário normal ou produção em horas extras. A seguir, os dados de disponibilidade, demanda e custo da situação.
Período
H.Normal
H.Extras
Demanda
1
90
50
100
2
100
60
190
3
120
80
210
4
110
70
160
Os custos unitários de produção para as horas normais e para as horas extras níveis em cada período são
4, $6
$ 0,50$. A produção de um determinado período pode atender à demanda de períodos posteriores. Modele matematicamente o problema de minimizar o custo total.
| Período | H.Normal | H.Extras | Demanda |
| 1 | 90 | 50 | 100 |
| 2 | 100 | 60 | 190 |
| 3 | 120 | 80 | 210 |
| 4 | 110 | 70 | 160 |
Passo 1
O que o problema pede e quais são os dados fornecidos (peguei estes números da tabela do enunciado).
- O enunciado pede: modelar matematicamente (isto é, escrever um modelo de programação linear) que minimize o custo total de produzir e armazenar, atendendo as demandas dos 4 períodos quando a produção pode ser feita em horas normais ou horas extras e pode ser estocada para períodos futuros.
- Dados por período (peguei estes números da tabela):
- Período
: capacidade horas normais , capacidade horas extras , demanda . - Período
: capacidade horas normais , capacidade horas extras , demanda . - Período
: capacidade horas normais , capacidade horas extras , demanda . - Período
: capacidade horas normais , capacidade horas extras , demanda .
- Período
- Custos unitários (peguei estes valores do enunciado):
- custo por unidade produzida em horas normais:
por unidade; - custo por unidade produzida em horas extras:
por unidade; - custo de estocagem (holding) por unidade por período:
por unidade por período.
- custo por unidade produzida em horas normais:
- Pressupostos implícitos que usarei (não foi dito o contrário no enunciado):
- estoque inicial
é zero (se houver estoque inicial diferente, basta alterar no modelo); - é permitido estoque de final de horizonte
(o modelo vai decidir se vale a pena); tipicamente com custo de holding positivo o modelo não deixará estoque final desnecessário.
- estoque inicial
Passo 2
Definição das variáveis de decisão (escolha intuitiva e explícita)
Vou definir uma variável para cada tipo de produção em cada período e uma para o estoque ao final do período. Explico o que cada variável significa e por que preciso dela.
- Para cada período
: -
: quantidade produzida no período em horas normais. Significa “unidades produzidas em horário normal no período ”. -
: quantidade produzida no período em horas extras. Significa “unidades produzidas em horas extras no período ”. -
: estoque (inventário) ao final do período . Significa “quantidade de unidades guardadas após satisfazer a demanda do período e que podem ser usadas nos próximos períodos”.
-
- Estoque inicial:
. Vou assumir (se no exame der outro valor, substitui-se).
Observação prática: essas variáveis permitem representar quanto se produz em cada modo (normal/extra) e quanto sobra para frente. É a forma padrão em problemas “produção — estoque — demanda”.
Passo 3
Construindo a função objetivo (o que queremos minimizar) — explicação didática
O objetivo é minimizar o custo total composto por:
- custo de produção em horas normais: para cada unidade produzida em horário normal paga-se
; portanto, no período esse custo é ; - custo de produção em horas extras: para cada unidade produzida em horas extras paga-se
; portanto, no período esse custo é ; - custo de estocagem: para cada unidade mantida em estoque ao final do período
paga-se por unidade por período; portanto, custo de holding no período é .
Somando sobre todos os períodos, a função objetivo é a soma dessas parcelas em
. Em forma matemática (explicando cada símbolo):
-
minimiza-se a função ; -
significa somar os custos de cada período .
A forma é:
Passo 4
Consumir a demanda: equações de balanço de estoque (a peça-chave do modelo) — explicação didática passo a passo
A lógica do balanço para cada período
é:
estoque anterior produção do período
demanda do período
estoque final.
estoque anterior
Em símbolos, para cada
:
onde
é a demanda no período
. Explico cada termo:
-
: quantidade disponível do estoque trazida do período anterior; -
: quantidade produzida no período (soma normal + extra); -
: demanda do período (essa quantidade precisa ser atendida neste ou em estoques anteriores); -
: estoque que sobra ao final do período , para atender demandas futuras.
Agora substituo os valores das demandas que peguei da tabela:
-
, , , .
Escrevendo explicitamente para cada
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Comentário prático: essas equações garantem que em todo período a demanda seja atendida, usando produção atual e estoques anteriores. Não é necessário “forçar” atendimento de demanda com inequações, porque equações de balanço mais a não-negatividade tornam isso explícito.
Passo 5
Restrições de capacidade (explicando por que existem)
Cada forma de produção tem um limite por período (peguei estes limites da tabela). Portanto, para cada
:
- produção em horas normais não pode ultrapassar a capacidade normal do período:
onde os valores
vêm da tabela:
,
,
,
.
- produção em horas extras não pode ultrapassar a capacidade de horas extras do período:
onde os valores
vêm da tabela:
,
,
,
.
Explicação: essas restrições refletem que só se pode produzir até a disponibilidade de horas normal/extra em cada período.
Passo 6
Restrições de não-negatividade e estoque inicial (detalhes finais)
- Estoques não podem ser negativos:
- Produções não podem ser negativas:
- Estoque inicial: conforme mencionado, assumo
Observação: se quiser impor que não haja estoque final (por exemplo a firma não quer deixar estoque sobrando), pode acrescentar
. Mas normalmente não é necessário porque o custo de holding positivo evita estoque final desnecessário.
Passo 7
Resumo do raciocínio e observações sobre solução
- O modelo é um problema de programação linear: função objetivo linear e todas as restrições lineares.
- Métodos de solução: simplex ou solver de PL (por exemplo Excel Solver, AMPL/CPLEX/Gurobi, R lpSolve) resolvem rapidamente; com 4 períodos é trivial de resolver à mão ou por inspeção.
- Interpretação econômica: modelo escolhe quanto produzir em horário normal (mais barato) até seu limite, depois completa com horas extras se necessário, e decide se compensa antecipar produção (produzir antes e estocar) quando o custo extra de holding é menor que o custo adicional de produzir depois em horas extras. A equação de balanço é a que assegura o atendimento de demanda.