Exercício 7: Uma fábrica produz 3 tipos de produtos utilizando três tipos de recursos. Os parâmetros do problema estão apresentados na tabela a seguir:
unidades de R em cada kg de P P1 P2 P3 Disponibilidade (unidades)
R1 3 2 3 24
R2 1 2 1 20
R3 1 2 3 18
$ Venda (por kg de P) 5 4 3
  1. Quais as variáveis de decisão do modelo?
  2. Qual a função-objetivo que maximiza o valor total arrecadado com a venda dos produtos?
  3. Quais as restrições de disponibilidade dos recursos?
  4. Qual restrição representa: “A utilização diária do recurso R1 deve ser de no mínimo 12 unidades”?
  5. Qual restrição representa: " A quantidade produzida de P1 não pode ser menor do que a quantidade produzida de P3"?
  6. Qual restrição representa: "A quantidade produzida de P2 não pode ultrapassar a de P1 por mais de 2 kg "?
  7. Qual restrição representa: “A quantidade produzida de P1 não pode ser maior do que a soma das quantidades produzidas de P2 e P3”?
  8. Qual restrição representa: "A produção de P1 deve ser de no mínimo 15 kg "?

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com a quantidade de unidades dos recursos R1,R2,R3 necessárias para produzir 1 kg de cada produto P1,P2,P3, a disponibilidade total de cada recurso, e o preço de venda por kg de cada produto. Vou listar claramente o que foi dado (peguei estes números da tabela):
  • Coeficientes de consumo dos recursos por kg de produto (peguei da tabela):
    • Para P1: R1=3,\;R2=1,\;R3=1.
    • Para P2: R1=2,\;R2=2,\;R3=2.
    • Para P3: R1=3,\;R2=1,\;R3=3.
  • Disponibilidade diária dos recursos (peguei da tabela):
    • R1: 24 unidades.
    • R2: 20 unidades.
    • R3: 18 unidades.
  • Preço de venda por kg (peguei da tabela):
    • P1: \$5 por kg.
    • P2: \$4 por kg.
    • P3: \$3 por kg.
O enunciado faz as seguintes perguntas (vou responder cada uma):
  1. Quais as variáveis de decisão do modelo?
  2. Qual a função-objetivo que maximiza o valor total arrecadado com a venda dos produtos?
  3. Quais as restrições de disponibilidade dos recursos?
  4. Qual restrição representa: “A utilização diária do recurso R1 deve ser de no mínimo 12 unidades”?
  5. Qual restrição representa: “A quantidade produzida de P1 não pode ser menor do que a quantidade produzida de P3”?
  6. Qual restrição representa: “A quantidade produzida de P2 não pode ultrapassar a de P1 por mais de 2 kg”?
  7. Qual restrição representa: “A quantidade produzida de P1 não pode ser maior do que a soma das quantidades produzidas de P2 e P3”?
  8. Qual restrição representa: “A produção de P1 deve ser de no mínimo 15 kg”?

Passo 2

Definir as variáveis de decisão (a base de qualquer modelo): escolher uma variável para representar a quantidade produzida de cada produto por dia, em kg. Assim:
  • x_1 = quantidade produzida de P1 (em kg por dia).
  • x_2 = quantidade produzida de P2 (em kg por dia).
  • x_3 = quantidade produzida de P3 (em kg por dia).
Explicação didática: as variáveis de decisão são as incógnitas que o modelo vai escolher para otimizar. Aqui queremos decidir quantos kg de cada produto fabricar, então cada variável corresponde a um produto.

Passo 3

Construir a função-objetivo que representa o valor total arrecadado com as vendas. Cada kg de P1 rende \$5, cada kg de P2 rende \$4 e cada kg de P3 rende \$3. Logo a receita total diária Z é a soma ponderada das quantidades produzidas pelos preços:
Z = 5x_1 + 4x_2 + 3x_3.
Como o enunciado pede maximizar o valor arrecadado, a função-objetivo é:
\text{Maximizar } Z = 5x_1 + 4x_2 + 3x_3.
Explicação didática: cada termo 5x_1 significa "preço por kg de P1 multiplicado pela quantidade de P1"; somando os termos temos a receita total.

Passo 4

Escrever as restrições de disponibilidade dos recursos (cada recurso limita a produção total porque é consumido por cada produto). Para cada recurso, a soma do consumo por produto não pode exceder a disponibilidade.
  • Para R1: consumo por kg é 3 em P1, 2 em P2 e 3 em P3. Disponibilidade 24. Portanto:
3x_1 + 2x_2 + 3x_3 \le 24.
  • Para R2: consumo por kg é 1 em P1, 2 em P2 e 1 em P3. Disponibilidade 20. Portanto:
1x_1 + 2x_2 + 1x_3 \le 20.
  • Para R3: consumo por kg é 1 em P1, 2 em P2 e 3 em P3. Disponibilidade 18. Portanto:
1x_1 + 2x_2 + 3x_3 \le 18.
Explicação didática: cada inequação soma o consumo de cada produto (coeficientes da tabela vezes x_i) e impõe que essa soma não ultrapasse a disponibilidade do recurso (por isso o sinal \le).

Passo 5

Reforçar condição usual de modelos de quantidade: não faz sentido produzir quantidades negativas. Então acrescenta-se restrições de não negatividade:
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0,\qquad x_3 \ge 0.
Explicação didática: essas restrições garantem que o modelo só considere soluções viáveis fisicamente (quantidades não negativas).

Passo 6

Traduzir a frase: “A utilização diária do recurso R1 deve ser de no mínimo 12 unidades.” Isso é uma restrição inferior sobre o consumo total de R1. Como o consumo total de R1 é 3x_1+2x_2+3x_3, a restrição é:
3x_1 + 2x_2 + 3x_3 \ge 12.
Explicação didática: antes tínhamos uma restrição superior porque o recurso tem disponibilidade máxima; agora acrescentamos um limite mínimo de uso desse mesmo recurso, portanto a soma do consumo deve ser pelo menos 12.

Passo 7

Traduzir: “A quantidade produzida de P1 não pode ser menor do que a quantidade produzida de P3.” Em termos de x_1,x_3, isso quer dizer x_1 \ge x_3. Ou seja:
x_1 \ge x_3.
Explicação didática: expressão direta — “P1 não menor que P3” vira x_1 \ge x_3.

Passo 8

Traduzir: “A quantidade produzida de P2 não pode ultrapassar a de P1 por mais de 2 kg.” Isso significa que a diferença x_2 - x_1 não pode ser maior que 2; em inequação:
x_2 - x_1 \le 2.
Ou equivalentemente:
x_2 \le x_1 + 2.
Explicação didática: “não ultrapassar por mais de 2 kg” = “a mais do que x_1 só pode ser até 2”, então x_2 - x_1 \le 2.

Passo 9

Traduzir: “A quantidade produzida de P1 não pode ser maior do que a soma das quantidades produzidas de P2 e P3.” Em símbolos:
x_1 \le x_2 + x_3.
Explicação didática: expressa que x_1 está limitado pelo total de x_2+x_3.

Passo 10

Traduzir: “A produção de P1 deve ser de no mínimo 15 kg.” Isso é uma restrição direta em x_1:
x_1 \ge 15.
Explicação didática: é um limite mínimo fixo na variável x_1.

Resposta

  1. x_1,\;x_2,\;x_3 onde x_1 = kg de P1, x_2 = kg de P2, x_3 = kg de P3.\n
  2. \text{Maximizar } Z = 5x_1 + 4x_2 + 3x_3.\n
  3. \;3x_1 + 2x_2 + 3x_3 \le 24,\n \;x_1 + 2x_2 + x_3 \le 20,\n \;x_1 + 2x_2 + 3x_3 \le 18.\n
  4. \;3x_1 + 2x_2 + 3x_3 \ge 12.\n
  5. \;x_1 \ge x_3.\n
  6. \;x_2 - x_1 \le 2 (ou \;x_2 \le x_1 + 2).\n
  7. \;x_1 \le x_2 + x_3.\n
  8. \;x_1 \ge 15.

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