Exercício 7: Uma fábrica produz 3 tipos de produtos utilizando três tipos de recursos. Os parâmetros do problema estão apresentados na tabela a seguir:
unidades de R em cada kg de P
P1
P2
P3
Disponibilidade (unidades)
R1
3
2
3
24
R2
1
2
1
20
R3
1
2
3
18
$ Venda (por kg de P)
5
4
3
- Quais as variáveis de decisão do modelo?
- Qual a função-objetivo que maximiza o valor total arrecadado com a venda dos produtos?
- Quais as restrições de disponibilidade dos recursos?
- Qual restrição representa: “A utilização diária do recurso R1 deve ser de no mínimo 12 unidades”?
- Qual restrição representa: " A quantidade produzida de P1 não pode ser menor do que a quantidade produzida de P3"?
- Qual restrição representa: "A quantidade produzida de P2 não pode ultrapassar a de P1 por mais de 2 kg "?
- Qual restrição representa: “A quantidade produzida de P1 não pode ser maior do que a soma das quantidades produzidas de P2 e P3”?
- Qual restrição representa: "A produção de P1 deve ser de no mínimo 15 kg "?
| unidades de R em cada kg de P | P1 | P2 | P3 | Disponibilidade (unidades) |
| R1 | 3 | 2 | 3 | 24 |
| R2 | 1 | 2 | 1 | 20 |
| R3 | 1 | 2 | 3 | 18 |
| $ Venda (por kg de P) | 5 | 4 | 3 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com a quantidade de unidades dos recursos
necessárias para produzir 1 kg de cada produto
, a disponibilidade total de cada recurso, e o preço de venda por kg de cada produto. Vou listar claramente o que foi dado (peguei estes números da tabela):
- Coeficientes de consumo dos recursos por kg de produto (peguei da tabela):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
- Para
- Disponibilidade diária dos recursos (peguei da tabela):
-
: unidades. -
: unidades. -
: unidades.
-
- Preço de venda por kg (peguei da tabela):
-
: por kg. -
: por kg. -
: por kg.
-
O enunciado faz as seguintes perguntas (vou responder cada uma):
- Quais as variáveis de decisão do modelo?
- Qual a função-objetivo que maximiza o valor total arrecadado com a venda dos produtos?
- Quais as restrições de disponibilidade dos recursos?
- Qual restrição representa: “A utilização diária do recurso R1 deve ser de no mínimo 12 unidades”?
- Qual restrição representa: “A quantidade produzida de P1 não pode ser menor do que a quantidade produzida de P3”?
- Qual restrição representa: “A quantidade produzida de P2 não pode ultrapassar a de P1 por mais de 2 kg”?
- Qual restrição representa: “A quantidade produzida de P1 não pode ser maior do que a soma das quantidades produzidas de P2 e P3”?
- Qual restrição representa: “A produção de P1 deve ser de no mínimo 15 kg”?
Passo 2
Definir as variáveis de decisão (a base de qualquer modelo): escolher uma variável para representar a quantidade produzida de cada produto por dia, em kg. Assim:
-
= quantidade produzida de (em kg por dia). -
= quantidade produzida de (em kg por dia). -
= quantidade produzida de (em kg por dia).
Explicação didática: as variáveis de decisão são as incógnitas que o modelo vai escolher para otimizar. Aqui queremos decidir quantos kg de cada produto fabricar, então cada variável corresponde a um produto.
Passo 3
Construir a função-objetivo que representa o valor total arrecadado com as vendas. Cada kg de
rende
, cada kg de
rende
e cada kg de
rende
. Logo a receita total diária
é a soma ponderada das quantidades produzidas pelos preços:
Como o enunciado pede maximizar o valor arrecadado, a função-objetivo é:
Explicação didática: cada termo
significa "preço por kg de
multiplicado pela quantidade de
"; somando os termos temos a receita total.
Passo 4
Escrever as restrições de disponibilidade dos recursos (cada recurso limita a produção total porque é consumido por cada produto). Para cada recurso, a soma do consumo por produto não pode exceder a disponibilidade.
- Para
: consumo por kg é em , em e em . Disponibilidade . Portanto:
- Para
: consumo por kg é em , em e em . Disponibilidade . Portanto:
- Para
: consumo por kg é em , em e em . Disponibilidade . Portanto:
Explicação didática: cada inequação soma o consumo de cada produto (coeficientes da tabela vezes
) e impõe que essa soma não ultrapasse a disponibilidade do recurso (por isso o sinal
).
Passo 5
Reforçar condição usual de modelos de quantidade: não faz sentido produzir quantidades negativas. Então acrescenta-se restrições de não negatividade:
Explicação didática: essas restrições garantem que o modelo só considere soluções viáveis fisicamente (quantidades não negativas).
Passo 6
Traduzir a frase: “A utilização diária do recurso R1 deve ser de no mínimo 12 unidades.” Isso é uma restrição inferior sobre o consumo total de
. Como o consumo total de
é
, a restrição é:
Explicação didática: antes tínhamos uma restrição superior porque o recurso tem disponibilidade máxima; agora acrescentamos um limite mínimo de uso desse mesmo recurso, portanto a soma do consumo deve ser pelo menos 12.
Passo 7
Traduzir: “A quantidade produzida de P1 não pode ser menor do que a quantidade produzida de P3.” Em termos de
, isso quer dizer
. Ou seja:
Explicação didática: expressão direta — “P1 não menor que P3” vira
.
Passo 8
Traduzir: “A quantidade produzida de P2 não pode ultrapassar a de P1 por mais de 2 kg.” Isso significa que a diferença
não pode ser maior que
; em inequação:
Ou equivalentemente:
Explicação didática: “não ultrapassar por mais de 2 kg” = “a mais do que
só pode ser até 2”, então
.
Passo 9
Traduzir: “A quantidade produzida de P1 não pode ser maior do que a soma das quantidades produzidas de P2 e P3.” Em símbolos:
Explicação didática: expressa que
está limitado pelo total de
.
Passo 10
Traduzir: “A produção de P1 deve ser de no mínimo 15 kg.” Isso é uma restrição direta em
:
Explicação didática: é um limite mínimo fixo na variável
.
Resposta
-
onde = kg de , = kg de , = kg de .\n -
\n -
\n \n \n -
\n -
\n -
(ou ).\n -
\n -