Exercício 9: Uma empresa pode anunciar seus produtos na rádio local e na televisão. A verba de propaganda é limitada a
10.000
$15
$ 300$. A empresa tem um contrato com a rádio que exige o anúncio no mínimo duas vezes mais do que na TV. Ao mesmo tempo, não se deseja usar mais do que 400 minutos por mês de propaganda pela rádio. Por experiências anteriores, a empresa estima que anunciar na TV é 5 vezes mais eficiente do que anunciar na rádio. Escreva o modelo para determinar a alocação ótima de verba de propaganda entre rádio e TV, de maneira a maximizar a eficiência total ponderada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O que o enunciado pede: determinar a alocação ótima da verba entre rádio e TV de modo a maximizar a eficiência total ponderada.
- Dados fornecidos:
- Verba disponível por mês:
. - Custo por minuto de rádio:
por minuto. - Custo por minuto de TV:
por minuto. - Contrato com a rádio: o anúncio na rádio deve ser no mínimo duas vezes o anúncio na TV.
- Limite de rádio: não usar mais do que
minutos por mês de rádio. - Eficiência estimada: anunciar na TV é
vezes mais eficiente do que anunciar na rádio (interpreta-se isto como por minuto).
- Verba disponível por mês:
- Pedido implícito: formular um modelo (variáveis, função objetivo e restrições) e determinar a alocação ótima.
Passo 2
Definir as variáveis de decisão (muito importante para escrever o modelo).
- Seja
o número de minutos de propaganda na rádio por mês. - Seja
o número de minutos de propaganda na TV por mês.
Explicação simples:
e
medem tempo (minutos). Ambos devem ser não-negativos:
.
Passo 3
Construir a função objetivo (o que queremos maximizar).
- A empresa diz que a TV é
vezes mais eficiente que a rádio por minuto. Para transformar isso em coeficientes numéricos, podemos tomar a eficiência por minuto da rádio como (uma unidade arbitrária de eficiência por minuto) e da TV como (cinco vezes). Isso só define a escala da eficiência; multiplicar a escala por uma constante não muda a solução ótima relativa. - Assim a eficiência total ponderada (que queremos maximizar) é:
- Portanto a função objetivo é:
Breve observação didática: escolher
como eficiência por minuto da rádio é só uma conveniência. Poderíamos usar qualquer constante
e obteríamos o mesmo ponto ótimo, pois seria só um fator multiplicativo na função objetivo.
Passo 4
Escrever as restrições (cada uma traduz uma condição do enunciado).
- Restrição orçamentária (custo total não pode exceder
):
Explicação:
é o custo total da rádio (
por minuto vezes
minutos) e
é o custo total da TV.
- Restrição do contrato com a rádio (anúncio na rádio no mínimo duas vezes o da TV):
Explicação: “no mínimo duas vezes mais do que na TV” interpretado como minutos de rádio pelo menos o dobro dos minutos de TV.
- Limite máximo de rádio:
- Não negatividade:
Passo 5
Resumo do modelo (colocando tudo junto, isto é o modelo de programação linear).
Comentário didático: este é um problema linear (função objetivo linear e restrições lineares). A solução ótima de um problema linear ocorre em um vértice da região factível (região descrita pelas restrições).
Passo 6
Estratégia de resolução (como achar o ótimo na prova sem software).
- Método prático: verificar os vértices (pontos de interseção) das retas que definem as fronteiras da região factível. Como é bidimensional, é rápido: calcular interseções relevantes e comparar os valores da função objetivo nesses pontos.
- As fronteiras relevantes aqui são:
(orçamento), (contrato), (cap), e os eixos , .
Passo 7
Calcular o vértice interseção entre a restrição do contrato
e a restrição orçamentária
.
Substituir
em
:
Calcular a eficiência nesse ponto:
Passo 8
Calcular o vértice interseção entre a restrição
e a restrição orçamentária
.
Substituir
em
:
Calcular a eficiência nesse ponto:
Passo 9
Verificar outros vértices triviais e comparar (controle rápido).
- Ponto
(usar todo o limite de rádio mas não TV): . - Origem
: . - Ponto da interseção
com é : já considerado. - A interseção
com seria , mas esse ponto não satisfaz a restrição orçamentária (custo seria enorme), logo é inviável.
Comparando os valores já calculados:
- No ponto
temos . - No ponto
temos . - Em
temos .
Portanto o maior valor da função objetivo ocorre em
.
Passo 10
Interpretação final e checagem das restrições.
- Solução ótima encontrada:
minutos de rádio e minutos de TV. - Verificação do orçamento:
ou seja, usa toda a verba
.
- Verificação do contrato
:
- Verificação do limite de rádio:
respeita . - Valor máximo da eficiência:
Comentário amigo: a intuição aqui é legal — embora a TV seja mais eficiente por minuto, ela é muito cara por minuto; dado o limite de minutos de rádio a solução usa o máximo possível de rádio (que rende mais “eficiência por dólar”) e gasta o resto na TV até esgotar o orçamento.
Resposta
Eficiência total máxima