Exercício 9: Uma empresa pode anunciar seus produtos na rádio local e na televisão. A verba de propaganda é limitada a \ 10.000 por mês. Cada minuto de propaganda pela rádio custoêá$15 e cada minuto de comerciais na TV custa$ 300$. A empresa tem um contrato com a rádio que exige o anúncio no mínimo duas vezes mais do que na TV. Ao mesmo tempo, não se deseja usar mais do que 400 minutos por mês de propaganda pela rádio. Por experiências anteriores, a empresa estima que anunciar na TV é 5 vezes mais eficiente do que anunciar na rádio. Escreva o modelo para determinar a alocação ótima de verba de propaganda entre rádio e TV, de maneira a maximizar a eficiência total ponderada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O que o enunciado pede: determinar a alocação ótima da verba entre rádio e TV de modo a maximizar a eficiência total ponderada.
  • Dados fornecidos:
    • Verba disponível por mês: \$\,10000.
    • Custo por minuto de rádio: \$\,15 por minuto.
    • Custo por minuto de TV: \$\,300 por minuto.
    • Contrato com a rádio: o anúncio na rádio deve ser no mínimo duas vezes o anúncio na TV.
    • Limite de rádio: não usar mais do que 400 minutos por mês de rádio.
    • Eficiência estimada: anunciar na TV é 5 vezes mais eficiente do que anunciar na rádio (interpreta-se isto como por minuto).
  • Pedido implícito: formular um modelo (variáveis, função objetivo e restrições) e determinar a alocação ótima.

Passo 2

Definir as variáveis de decisão (muito importante para escrever o modelo).
  • Seja r o número de minutos de propaganda na rádio por mês.
  • Seja t o número de minutos de propaganda na TV por mês.
Explicação simples: r e t medem tempo (minutos). Ambos devem ser não-negativos: \;r\ge0,\;t\ge0.

Passo 3

Construir a função objetivo (o que queremos maximizar).
  • A empresa diz que a TV é 5 vezes mais eficiente que a rádio por minuto. Para transformar isso em coeficientes numéricos, podemos tomar a eficiência por minuto da rádio como 1 (uma unidade arbitrária de eficiência por minuto) e da TV como 5 (cinco vezes). Isso só define a escala da eficiência; multiplicar a escala por uma constante não muda a solução ótima relativa.
  • Assim a eficiência total ponderada (que queremos maximizar) é:
E = 1\cdot r + 5\cdot t.
  • Portanto a função objetivo é:
\text{Maximizar } E = r + 5t.
Breve observação didática: escolher 1 como eficiência por minuto da rádio é só uma conveniência. Poderíamos usar qualquer constante k>0 e obteríamos o mesmo ponto ótimo, pois seria só um fator multiplicativo na função objetivo.

Passo 4

Escrever as restrições (cada uma traduz uma condição do enunciado).
  1. Restrição orçamentária (custo total não pode exceder \$\,10000):
15r + 300t \le 10000.
Explicação: 15r é o custo total da rádio ( \$15 por minuto vezes r minutos) e 300t é o custo total da TV.
  1. Restrição do contrato com a rádio (anúncio na rádio no mínimo duas vezes o da TV):
r \ge 2t.
Explicação: “no mínimo duas vezes mais do que na TV” interpretado como minutos de rádio pelo menos o dobro dos minutos de TV.
  1. Limite máximo de rádio:
r \le 400.
  1. Não negatividade:
r \ge 0,\qquad t \ge 0.

Passo 5

Resumo do modelo (colocando tudo junto, isto é o modelo de programação linear).
\text{Maximizar } E = r + 5t
\text{sujeito a}
15r + 300t \le 10000
r \ge 2t
r \le 400
r \ge 0,\quad t \ge 0
Comentário didático: este é um problema linear (função objetivo linear e restrições lineares). A solução ótima de um problema linear ocorre em um vértice da região factível (região descrita pelas restrições).

Passo 6

Estratégia de resolução (como achar o ótimo na prova sem software).
  • Método prático: verificar os vértices (pontos de interseção) das retas que definem as fronteiras da região factível. Como é bidimensional, é rápido: calcular interseções relevantes e comparar os valores da função objetivo nesses pontos.
  • As fronteiras relevantes aqui são: 15r+300t=10000 (orçamento), r=2t (contrato), r=400 (cap), e os eixos r=0, t=0.

Passo 7

Calcular o vértice interseção entre a restrição do contrato r=2t e a restrição orçamentária 15r+300t=10000.
Substituir r=2t em 15r+300t=10000:
15(2t)+300t = 10000.
30t + 300t = 10000.
330t = 10000 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{10000}{330} = \frac{1000}{33} \approx 30{,}303\ldots
r = 2t = \frac{2000}{33} \approx 60{,}606\ldots
Calcular a eficiência nesse ponto:
E = r + 5t = \frac{2000}{33} + 5\cdot\frac{1000}{33} = \frac{2000 + 5000}{33} = \frac{7000}{33} \approx 212{,}121\ldots

Passo 8

Calcular o vértice interseção entre a restrição r=400 e a restrição orçamentária 15r+300t=10000.
Substituir r=400 em 15r+300t=10000:
15\cdot 400 + 300t = 10000.
6000 + 300t = 10000.
300t = 4000 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{4000}{300} = \frac{40}{3} \approx 13{,}333\ldots
Calcular a eficiência nesse ponto:
E = r + 5t = 400 + 5\cdot\frac{40}{3} = 400 + \frac{200}{3} = \frac{1200+200}{3} = \frac{1400}{3} \approx 466{,}666\ldots

Passo 9

Verificar outros vértices triviais e comparar (controle rápido).
  • Ponto r=400,\\ t=0 (usar todo o limite de rádio mas não TV): E = 400.
  • Origem r=0,t=0: E=0.
  • Ponto da interseção r=2t com t=0 é r=0: já considerado.
  • A interseção r=400 com r=2t seria t=200, mas esse ponto não satisfaz a restrição orçamentária (custo seria enorme), logo é inviável.
Comparando os valores já calculados:
  • No ponto (r,t)=\big(\tfrac{2000}{33},\tfrac{1000}{33}\big) temos E\approx 212{,}12.
  • No ponto (r,t)=\big(400,\tfrac{40}{3}\big) temos E\approx 466{,}67.
  • Em (400,0) temos E=400.
Portanto o maior valor da função objetivo ocorre em (r,t)=\big(400,\tfrac{40}{3}\big).

Passo 10

Interpretação final e checagem das restrições.
  • Solução ótima encontrada: r=400 minutos de rádio e t=\dfrac{40}{3}\approx 13{,}333 minutos de TV.
  • Verificação do orçamento:
15\cdot 400 + 300\cdot \frac{40}{3} = 6000 + 4000 = 10000,
ou seja, usa toda a verba \$\,10000.
  • Verificação do contrato r\ge 2t:
400 \ge 2\cdot\frac{40}{3} \quad\text{pois}\quad 400 \ge \frac{80}{3}\approx 26{,}667\quad\text{(verdadeiro)}.
  • Verificação do limite de rádio: r=400 respeita r\le400.
  • Valor máximo da eficiência:
E_{\max} = \frac{1400}{3} \approx 466{,}666\ldots
Comentário amigo: a intuição aqui é legal — embora a TV seja mais eficiente por minuto, ela é muito cara por minuto; dado o limite de minutos de rádio a solução usa o máximo possível de rádio (que rende mais “eficiência por dólar”) e gasta o resto na TV até esgotar o orçamento.

Resposta

r=400 minutos de rádio e t=\dfrac{40}{3}\approx 13{,}333 minutos de TV\newline
Eficiência total máxima E_{\max}=\dfrac{1400}{3}\approx 466{,}667

Exercícios relacionados