Exercício 1.* Demonstre, usando o princípio da indução finita, que:
, para todo
;
Passo 1
O enunciado pede que se prove, para todo
, a igualdade
Informações/dados relevantes dadas no enunciado:
- A expressão do lado esquerdo é o produto dos
primeiros fatores do tipo , para . - A afirmação deve valer para todo
natural. - O enunciado exige que se demonstre usando o princípio da indução finita (princípio da indução).
Passo 2
Breve explicação do que é o princípio da indução finita (modo de pensar): para provar que uma propriedade
é verdadeira para todo
costuma-se fazer duas coisas:
- Base da indução: mostrar que
é verdadeira (ou, dependendo do problema, etc.). - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para um qualquer (hipótese de indução) e então provar que disso segue que é verdadeira.
Se ambos os passos são feitos, entãovale para todo . Isto funciona porque a verdade “propaga” do caso base para todos os outros sucessores.
Passo 3
Definição clara da propriedade a provar por indução: para cada
defina
Vamos provar
para todo
aplicando o esquema indicado no Passo 2.
Passo 4
Base da indução (
). Calcular explicitamente o lado esquerdo para
:
O lado direito para
é
. Portanto
isto é,
é verdadeira. Base verificada.
Passo 5
Hipótese de indução. Suponha agora, para um
fixo e arbitrário em
, que
é verdadeira; isto é, suponha que
Esta é a hipótese que vamos usar para deduzir
.
Passo 6
Passo indutivo — escrever a expressão para
em termos da expressão para
. O produto até
pode ser visto como o produto até
multiplicado pelo fator adicional
. Assim
Pelo que foi assumido na hipótese de indução, a parte até
vale
. Substituindo:
Passo 7
Fazer a álgebra para simplificar
. Primeiro transformar o somando em uma só fração:
Agora multiplicar:
pois o
do numerador cancela com o denominador
. Portanto obtemos
ou seja,
é verdadeira.
Passo 8
Conclusão da indução. Tivemos que
é verdadeira (Passo 4) e que
para todo
(Passos 5–7). Pelo princípio da indução finita, segue que
é verdadeira para todo
. Assim a igualdade desejada vale para todo
.
Passo 9
Comentário intuitivo extra (opcional, para fixar a ideia): cada fator
pode ser escrito como
. O produto
“telescopa” e sobra
. Isso é uma verificação rápida que consolida o resultado obtido por indução.