Exercício 1.* Demonstre, usando o princípio da indução finita, que:
(1+1) \cdot\left(1+\frac{1}{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1, para todo n \in \mathbb{N};

Passo 1

O enunciado pede que se prove, para todo n \in \mathbb{N}, a igualdade
(1+1)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1.
Informações/dados relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão do lado esquerdo é o produto dos n primeiros fatores do tipo \displaystyle\left(1+\frac{1}{k}\right), para k=1,2,\dots,n.
  • A afirmação deve valer para todo n natural.
  • O enunciado exige que se demonstre usando o princípio da indução finita (princípio da indução).

Passo 2

Breve explicação do que é o princípio da indução finita (modo de pensar): para provar que uma propriedade P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N} costuma-se fazer duas coisas:
  1. Base da indução: mostrar que P(1) é verdadeira (ou, dependendo do problema, P(0) etc.).
  2. Passo indutivo: assumir que P(n) é verdadeira para um n qualquer (hipótese de indução) e então provar que disso segue que P(n+1) é verdadeira.
    Se ambos os passos são feitos, então P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}. Isto funciona porque a verdade “propaga” do caso base para todos os outros sucessores.

Passo 3

Definição clara da propriedade a provar por indução: para cada n\in\mathbb{N} defina
P(n)\\ :\quad (1+1)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1.
Vamos provar P(n) para todo n aplicando o esquema indicado no Passo 2.

Passo 4

Base da indução ( n=1). Calcular explicitamente o lado esquerdo para n=1:
(1+1)=2.
O lado direito para n=1 é 1+1=2. Portanto
(1+1)=2=1+1,
isto é, P(1) é verdadeira. Base verificada.

Passo 5

Hipótese de indução. Suponha agora, para um n fixo e arbitrário em \mathbb{N}, que P(n) é verdadeira; isto é, suponha que
(1+1)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1.
Esta é a hipótese que vamos usar para deduzir P(n+1).

Passo 6

Passo indutivo — escrever a expressão para n+1 em termos da expressão para n. O produto até n+1 pode ser visto como o produto até n multiplicado pelo fator adicional \displaystyle\left(1+\frac{1}{n+1}\right). Assim
(1+1)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right).
Pelo que foi assumido na hipótese de indução, a parte até n vale n+1. Substituindo:
\bigl(n+1\bigr)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right).

Passo 7

Fazer a álgebra para simplificar \displaystyle\bigl(n+1\bigr)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right). Primeiro transformar o somando em uma só fração:
1+\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}+\frac{1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}.
Agora multiplicar:
\bigl(n+1\bigr)\cdot\frac{n+2}{n+1}=n+2,
pois o \bigl(n+1\bigr) do numerador cancela com o denominador \bigl(n+1\bigr). Portanto obtemos
(1+1)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n+1}\right)=n+2,
ou seja, P(n+1) é verdadeira.

Passo 8

Conclusão da indução. Tivemos que P(1) é verdadeira (Passo 4) e que P(n)\Rightarrow P(n+1) para todo n (Passos 5–7). Pelo princípio da indução finita, segue que P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}. Assim a igualdade desejada vale para todo n.

Passo 9

Comentário intuitivo extra (opcional, para fixar a ideia): cada fator \displaystyle\left(1+\frac{1}{k}\right) pode ser escrito como \displaystyle\frac{k+1}{k}. O produto
\prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}=\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{n+1}{n}
“telescopa” e sobra \displaystyle\frac{n+1}{1}=n+1. Isso é uma verificação rápida que consolida o resultado obtido por indução.

Resposta

(1+1)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1, para todo n\in\mathbb{N}.

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