Exercício 1.* Demonstre, usando o princípio da indução finita, que:
2+5+8+\ldots+(2+3 n)=\frac{(n+1)(4+3 n)}{2}, para todo n \in \mathbb{N};

Passo 1

O enunciado dá a soma dos termos da sequência
2,\,5,\,8,\ldots,(2+3n)
e pede para demonstrar, usando o princípio da indução finita, que, para todo n\in\mathbb{N},
2+5+8+\ldots+(2+3n)=\frac{(n+1)(4+3n)}{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O somatório começa em 2 e cada termo aumenta de 3 até atingir o termo geral 2+3n.
  • O número de termos é (n+1) (porque para n=0 há um termo, para n=1 há dois termos, etc.).
  • Deve-se usar indução finita (indução matemática) para provar a fórmula para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Explicando o método que vou usar (princípio da indução finita), de forma bem direta e prática:
  • Passo base: provar que a fórmula vale para um valor inicial de n (escolhemos n=0, que é simples).
  • Passo indutivo: supor que a fórmula vale para n=k (hipótese de indução) e então provar que, sob essa hipótese, a fórmula vale para n=k+1.
    Se ambos os passos forem feitos corretamente, a propriedade é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}. Isto é o núcleo da indução: provar que a “corrente” passa do caso k para o caso k+1 e que começa correta em 0.

Passo 3

Passo base ( n=0). Avaliar a soma quando n=0:
  • Lado esquerdo: há apenas um termo, que é 2+3\cdot0=2. Então a soma é 2.
  • Lado direito: calcular a fórmula proposta para n=0:
\frac{(0+1)(4+3\cdot0)}{2}=\frac{1\cdot 4}{2}=2.
Portanto a fórmula é verdadeira para n=0.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para um k\in\mathbb{N} qualquer a fórmula seja verdadeira, isto é, suponha que
2+5+8+\ldots+(2+3k)=\frac{(k+1)(4+3k)}{2}.
Esta é a hipótese de indução que vamos usar para provar o caso seguinte n=k+1.

Passo 5

Objetivo do passo indutivo: mostrar que, sob a hipótese de indução, vale
2+5+8+\ldots+(2+3k)+(2+3(k+1))=\frac{(k+2)(4+3(k+1))}{2}.
Começamos escrevendo a soma até k+1 como a soma até k mais o termo novo:
S_{k+1}=\bigl(2+5+8+\ldots+(2+3k)\bigr)+(2+3(k+1)).
Pela hipótese de indução substituímos a soma até k pela expressão dada:
S_{k+1}=\frac{(k+1)(4+3k)}{2}+(2+3(k+1)).

Passo 6

Agora fazemos a álgebra passo a passo para transformar a expressão anterior na forma desejada.
Primeiro escrevemos o termo novo de forma explícita:
2+3(k+1)=2+3k+3=5+3k.
Substituindo:
S_{k+1}=\frac{(k+1)(4+3k)}{2}+(5+3k).
Colocamos tudo sobre o mesmo denominador 2:
S_{k+1}=\frac{(k+1)(4+3k)+2(5+3k)}{2}.
Agora expandimos cada parte no numerador com cuidado:
(k+1)(4+3k)=3k^2+7k+4,
2(5+3k)=10+6k.
Somando:
(3k^2+7k+4)+(10+6k)=3k^2+13k+14.
Logo
S_{k+1}=\frac{3k^2+13k+14}{2}.

Passo 7

Para reconhecer essa expressão na forma desejada, calculamos a fórmula proposta para n=k+1:
\frac{(k+2)(4+3(k+1))}{2}=\frac{(k+2)(4+3k+3)}{2}=\frac{(k+2)(3k+7)}{2}.
Expandindo:
(k+2)(3k+7)=3k^2+7k+6k+14=3k^2+13k+14.
Portanto
\frac{(k+2)(4+3(k+1))}{2}=\frac{3k^2+13k+14}{2},
que coincide exatamente com S_{k+1} obtido anteriormente.

Passo 8

Conclusão do passo indutivo: a igualdade para n=k implica a igualdade para n=k+1. Já verificamos o passo base n=0. Pelo princípio da indução finita, a fórmula é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

2+5+8+\ldots+(2+3n)=\frac{(n+1)(4+3n)}{2}

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