Exercício 1.* Demonstre, usando o princípio da indução finita, que:
, para todo
;
Passo 1
O enunciado dá a soma dos termos da sequência
e pede para demonstrar, usando o princípio da indução finita, que, para todo
,
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O somatório começa em
e cada termo aumenta de até atingir o termo geral . - O número de termos é
(porque para há um termo, para há dois termos, etc.). - Deve-se usar indução finita (indução matemática) para provar a fórmula para todo
.
Passo 2
Explicando o método que vou usar (princípio da indução finita), de forma bem direta e prática:
- Passo base: provar que a fórmula vale para um valor inicial de
(escolhemos , que é simples). - Passo indutivo: supor que a fórmula vale para
(hipótese de indução) e então provar que, sob essa hipótese, a fórmula vale para .
Se ambos os passos forem feitos corretamente, a propriedade é verdadeira para todo. Isto é o núcleo da indução: provar que a “corrente” passa do caso para o caso e que começa correta em .
Passo 3
Passo base (
). Avaliar a soma quando
:
- Lado esquerdo: há apenas um termo, que é
. Então a soma é . - Lado direito: calcular a fórmula proposta para
:
Portanto a fórmula é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para um
qualquer a fórmula seja verdadeira, isto é, suponha que
Esta é a hipótese de indução que vamos usar para provar o caso seguinte
.
Passo 5
Objetivo do passo indutivo: mostrar que, sob a hipótese de indução, vale
Começamos escrevendo a soma até
como a soma até
mais o termo novo:
Pela hipótese de indução substituímos a soma até
pela expressão dada:
Passo 6
Agora fazemos a álgebra passo a passo para transformar a expressão anterior na forma desejada.
Primeiro escrevemos o termo novo de forma explícita:
Primeiro escrevemos o termo novo de forma explícita:
Substituindo:
Colocamos tudo sobre o mesmo denominador
:
Agora expandimos cada parte no numerador com cuidado:
Somando:
Logo
Passo 7
Para reconhecer essa expressão na forma desejada, calculamos a fórmula proposta para
:
Expandindo:
Portanto
que coincide exatamente com
obtido anteriormente.
Passo 8
Conclusão do passo indutivo: a igualdade para
implica a igualdade para
. Já verificamos o passo base
. Pelo princípio da indução finita, a fórmula é verdadeira para todo
.