Exercício 1.* Demonstre, usando o princípio da indução finita, que:
2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1, para todo n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando o princípio da indução finita, a igualdade
2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1
para todo n\in\mathbb{N}. Informações dadas e o que precisa ser mostrado:
  • A expressão à esquerda é a soma das potências de 2 desde o expoente 0 até n-1.
  • A expressão à direita é 2^{n}-1.
  • Deve-se provar que essas duas expressões são iguais para todo n natural (a prova será feita por indução finita).

Passo 2

O que é o princípio da indução finita (explicação didática, em linguagem simples)?
  • A indução é um método para provar afirmações que dependem de um natural n. Ele tem duas etapas essenciais:
    1. Base da indução: mostrar que a afirmação é verdadeira para um primeiro valor inicial de n (normalmente n=1).
    2. Passo indutivo: mostrar que se a afirmação é verdadeira para um n=k qualquer (hipótese indutiva), então ela também é verdadeira para n=k+1.
  • Intuição (analogia das escadas): provar a base é provar que você consegue ficar no degrau 1; o passo indutivo é provar que, se você sabe ficar em qualquer degrau k, então você pode subir para o degrau k+1. Isso garante que você pode atingir todo degrau natural.

Passo 3

Escolha e verificação da base da indução:
  • Vamos tomar a base n=1.
  • Calcular a soma para n=1: a soma vai de 0 até n-1=0, portanto
2^{0}=1.
  • Calcular o lado direito para n=1:
2^{1}-1 = 2-1 = 1.
  • Conclusão da base: para n=1 temos \,2^{0}=2^{1}-1, logo a igualdade é verdadeira para n=1.

Passo 4

Hipótese de indução:
  • Suponha que a fórmula seja verdadeira para um inteiro arbitrário k\ge 1. Ou seja, suponha que
2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{k-1}=2^{k}-1.
  • Esta suposição é chamada de hipótese indutiva. A partir dela vamos provar a validade para n=k+1.

Passo 5

Passo indutivo — provar que a verdade para k implica a verdade para k+1:
  • A soma que queremos avaliar para n=k+1 é
2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{k-1}+2^{k}.
  • Separe a soma anterior (que, pela hipótese indutiva, já conhecemos) e o último termo:
2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{k-1}+2^{k} = \bigl(2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{k-1}\bigr)+2^{k}.
  • Aplicando a hipótese indutiva \,2^{0}+\cdots+2^{k-1}=2^{k}-1, obtemos
\bigl(2^{k}-1\bigr)+2^{k}.
  • Agora faça as contas passo a passo:
    • Some 2^{k} com 2^{k}: 2^{k}+2^{k}=2\cdot 2^{k}=2^{k+1}.
    • Então \bigl(2^{k}-1\bigr)+2^{k}=2^{k+1}-1.
  • Portanto concluímos que
2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{k-1}+2^{k}=2^{k+1}-1,
ou seja, a fórmula vale para n=k+1.

Passo 6

Conclusão por indução e verificação numérica rápida:
  • Já mostramos a base ( n=1) e que a validade para n=k implica validade para n=k+1. Pelo princípio da indução finita, a igualdade vale para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 1.
  • Checagem rápida com um exemplo numérico (só para ganhar confiança): para n=4 a soma é
2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}=1+2+4+8=15,
e o lado direito é 2^{4}-1=16-1=15. Está de acordo.

Resposta

2^{0}+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1

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