Exercício 1.* Demonstre, usando o princípio da indução finita, que:
, para todo
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando o princípio da indução finita, a igualdade
para todo
. Informações dadas e o que precisa ser mostrado:
- A expressão à esquerda é a soma das potências de
desde o expoente até . - A expressão à direita é
. - Deve-se provar que essas duas expressões são iguais para todo
natural (a prova será feita por indução finita).
Passo 2
O que é o princípio da indução finita (explicação didática, em linguagem simples)?
- A indução é um método para provar afirmações que dependem de um natural
. Ele tem duas etapas essenciais: - Base da indução: mostrar que a afirmação é verdadeira para um primeiro valor inicial de
(normalmente ). - Passo indutivo: mostrar que se a afirmação é verdadeira para um
qualquer (hipótese indutiva), então ela também é verdadeira para .
- Base da indução: mostrar que a afirmação é verdadeira para um primeiro valor inicial de
- Intuição (analogia das escadas): provar a base é provar que você consegue ficar no degrau 1; o passo indutivo é provar que, se você sabe ficar em qualquer degrau
, então você pode subir para o degrau . Isso garante que você pode atingir todo degrau natural.
Passo 3
Escolha e verificação da base da indução:
- Vamos tomar a base
. - Calcular a soma para
: a soma vai de até , portanto
- Calcular o lado direito para
:
- Conclusão da base: para
temos , logo a igualdade é verdadeira para .
Passo 4
Hipótese de indução:
- Suponha que a fórmula seja verdadeira para um inteiro arbitrário
. Ou seja, suponha que
- Esta suposição é chamada de hipótese indutiva. A partir dela vamos provar a validade para
.
Passo 5
Passo indutivo — provar que a verdade para
implica a verdade para
:
- A soma que queremos avaliar para
é
- Separe a soma anterior (que, pela hipótese indutiva, já conhecemos) e o último termo:
- Aplicando a hipótese indutiva
, obtemos
- Agora faça as contas passo a passo:
- Some
com : . - Então
.
- Some
- Portanto concluímos que
ou seja, a fórmula vale para
.
Passo 6
Conclusão por indução e verificação numérica rápida:
- Já mostramos a base (
) e que a validade para implica validade para . Pelo princípio da indução finita, a igualdade vale para todo com . - Checagem rápida com um exemplo numérico (só para ganhar confiança): para
a soma é
e o lado direito é
. Está de acordo.