Exercício 9. Derive as seguintes funções
f(x)=(cos (x^2)+x^2)(sen(x^3) x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(cos(x^2)+x^2r),l(xsin(x^3)r)
O conteúdo necessário envolve a regra do produto, a regra da cadeia e a regra da potência.

Passo 2

Definimos
u(x)=cos(x^2)+x^2 e v(x)=xsin(x^3),
de modo que f(x)=u(x),v(x) e poderemos usar f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x).

Passo 3

Para obter u'(x) usamos regra da soma, potência e cadeia:
u'(x) =ddxcos(x^2)+ddxx^2 =-sin(x^2)cdot2x+2x =-2xsin(x^2)+2x

Passo 4

Para v'(x) aplicamos a regra do produto em x e sin(x^3), além da cadeia em sin(x^3):
v'(x) =ddxl(xr)sin(x^3)+xddxsin(x^3) =sin(x^3)+xl(cos(x^3)cdot3x^2r) =sin(x^3)+3x^3cos(x^3)

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto em f(x)=u(x),v(x):
f'(x) =u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo u,,u',,v,,v':
f'(x) =l(-2xsin(x^2)+2xr)l(xsin(x^3)r) +l(cos(x^2)+x^2r)l(sin(x^3)+3x^3cos(x^3)r)
Podemos ainda agrupar o primeiro termo:
f'(x) =2x^2sin(x^3)l(1-sin(x^2)r) +(cos(x^2)+x^2)l(sin(x^3)+3x^3cos(x^3)r)

Resposta

f'(x) =2x^2sin(x^3)l(1-sin(x^2)r) +(cos(x^2)+x^2)l(sin(x^3)+3x^3cos(x^3)r)

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