Exercício 6. Derive
y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Como tanto a base quanto o expoente dependem de x, vamos usar diferenciação logarítmica, que consiste em aplicar o logaritmo natural em ambos os lados e depois derivar implicitamente.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln y = \ln\Bigl((1+\tfrac{1}{x})^{x}\Bigr).
Pelo fato de \ln(a^b)=b\ln a, obtemos
\ln y = x \,\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo,
\frac{d}{dx}(\ln y)=\frac{1}{y}\,y'.
No lado direito, usamos a regra do produto em \,x\ln(1+1/x). Assim,
\frac{d}{dx}\bigl[x\ln(1+\tfrac{1}{x})\bigr] =\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr) +x\cdot\frac{1}{1+\tfrac{1}{x}}\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr).
Como \tfrac{d}{dx}(1+1/x)=-1/x^{2}, fica
\frac{d}{dx}\bigl[x\ln(1+\tfrac{1}{x})\bigr] =\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr) +x\cdot\frac{-1/x^{2}}{1+1/x} =\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)-\frac{1}{x+1}.
Portanto, a derivação implícita dá
\frac{1}{y}\,y'=\ln\!\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)-\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y para obter y':
y' = y\;\Bigl(\ln(1+\tfrac{1}{x})-\tfrac{1}{x+1}\Bigr).
Substituindo y=(1+1/x)^{x}, a derivada final é

Resposta

y' = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\!\left(\ln\!\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)\;-\;\frac{1}{x+1}\right).

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