Exercício 6. Derive
y=2^{x}+3^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = 2^{x} + 3^{2x},
ou seja, queremos calcular \tfrac{dy}{dx}. O conteúdo principal aqui é a derivada de exponenciais de base qualquer, usando a fórmula \tfrac{d}{dx}a^{u(x)} = a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).

Passo 2

Primeiro derivamos 2^{x}. Aqui a=2 e u(x)=x, logo u'(x)=1. Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dx}2^{x} = 2^{x}\ln(2)\cdot1 = 2^{x}\ln(2).

Passo 3

Agora derivamos 3^{2x}. Neste caso a=3 e u(x)=2x, de modo que u'(x)=2. Então
\frac{d}{dx}3^{2x} = 3^{2x}\ln(3)\cdot 2 = 2\,3^{2x}\ln(3).

Passo 4

Como a derivada de uma soma é a soma das derivadas, juntamos os resultados dos passos anteriores. Assim,
\frac{dy}{dx} = 2^{x}\ln(2) + 2\,3^{2x}\ln(3).

Resposta

y' = 2^{x}\ln(2) + 2\,3^{2x}\ln(3).

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