Exercício 6. Derive
y=x^{\sin (2 x)}

Passo 1

O enunciado pede derivar a função
y = x^{\sin(2x)}
Este é um caso de exponenciação com base e expoente variando em x. Para resolver usamos diferenciação logarítmica, que simplifica o tratamento desse tipo de função.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados, usando a propriedade \ln(a^b)=b\ln a:
\ln y = \sin(2x)\,\ln x

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x.
O lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\ln y = \frac{y'}{y}.
O lado direito, pela regra do produto \bigl(fg\bigr)'=f'\,g + f\,g':
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(2x)\ln x\bigr] = (\sin(2x))'\,\ln x + \sin(2x)\,(\ln x)' = 2\cos(2x)\,\ln x + \frac{\sin(2x)}{x}.
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\frac{y'}{y} = 2\ln x\cos(2x) + \frac{\sin(2x)}{x}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y para isolar y':
y' = y\Bigl(2\ln x\cos(2x) + \tfrac{\sin(2x)}{x}\Bigr).

Passo 5

Finalmente, substituímos y = x^{\sin(2x)} na expressão de y':
y' = x^{\sin(2x)}\Bigl(2\ln x\cos(2x) + \tfrac{\sin(2x)}{x}\Bigr).

Resposta

y' = x^{\sin(2x)}\Bigl(2\ln x\cos(2x) + \tfrac{\sin(2x)}{x}\Bigr).

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