Exercício 5: Deseja-se fluidizar partículas que apresentam tamanho de 0,10 \mathrm{~mm}, esfericidade 0,86 e densidade de 1200 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, usando ar a 25^{\circ} \mathrm{C} e 202,65 \mathrm{kPa} de pressão absoluta, cuja densidade nessas condições é 2,37 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade é 1,84.10^{-5} \mathrm{~Pa}.s. A porosidade do leito nas condições de fluidização mínima é 0,43 . O diâmetro do leito é 0,60 \mathrm{~m} e o leito contém 350 Kg de partículas sólidas. Determine: a) A altura mínima do leito fluidizado; b) A queda de pressão nas condições de mínima fluidização, e c) A velocidade de mínima fluidização.
Dp 0.0001 m
ρpartícula 1200 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}
\varphi \mathrm{S} 0.86
par 2.37 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}
\mu 0.0000184 Pa.s
ɛmf 0.43
dleito 0.6 m
mleito 350 Kg
g 9.81 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}
a) A altura mínima do leito fluidizado.
\boldsymbol{\rho}_{\boldsymbol{t}}= \frac{\text { vassa }}{\text { volume }} \_\_\_\_
Vpartículas Ipartículas 0.2916666667 1.031559816 \mathrm{m}^{3} m
\_\_\_\_
\iota=\iota_{c r} \overline{1-\varepsilon}
Icr ou mf 1.809754064 m
\Delta \boldsymbol{P}=(\mathbf{1}-\boldsymbol{\varepsilon})\left(\boldsymbol{\rho}_{s}-\boldsymbol{\rho}\right) \boldsymbol{l} \mathbf{g}
\Delta \mathrm{P} 12119.5387 Pa
c) A velocidade de mínima fluidização.
=150 \frac{(1-\varepsilon)^{2} u_{c r} \mu}{\varepsilon^{3} d^{2}}\left[\frac{d^{3} \rho}{(1-\varepsilon) \mu^{2}}\right]+1,75 \frac{(1-\varepsilon) u_{c r}^{2} \rho}{\varepsilon^{3} d}\left[\frac{d^{3} \rho}{(1-\varepsilon) \mu^{2}}\right]
25.59376811 Re ^{2} cr ou mf 1453.998 Recr ou - 82.2440282 = 0
1 \operatorname{Re}^{2} \mathrm{cr} ou mf 56.8106 Recr ou - 3.2134396^{\prime}= 0
Recr ou mf 0.05650784732
\mu
ucr ou mf 0.00438710713 \mathrm{m} / \mathrm{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (cada valor citado em seguida está na forma numérica usada nos cálculos):
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro das partículas: \,d_p=0{,}0001\\ \mathrm{m}.
    • Densidade das partículas (sólido): \rho_s=1200\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Esfericidade das partículas: \varphi_S=0{,}86.
    • Densidade do gás (ar) nas condições dadas: \rho_g=2{,}37\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Viscosidade do gás: \mu=1{,}84\cdot10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Porosidade do leito em mínima fluidização: \varepsilon_{mf}=0{,}43.
    • Diâmetro do leito (seção): D=0{,}60\\ \mathrm{m}.
    • Massa de partículas no leito: m_s=350\\ \mathrm{kg}.
    • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O que o enunciado pede:
    a) A altura mínima do leito fluidizado \,h_{mf}.
    b) A queda de pressão nas condições de mínima fluidização \,\Delta P_{mf}.
    c) A velocidade superficial do gás de mínima fluidização \,U_{mf}.
Observação importante (não resolvo ainda): para (a) uso a relação massa → volume do leito com porosidade; para (b) a queda de pressão em mf é o peso aparente das partículas por unidade de área; para (c) uso a equação de Ergun no estado de leito empacotado e igualo a \Delta P/h para obter U_{mf}. Em todos os passos explicarei cada fórmula e cada variável.

Passo 2

Cálculo do volume ocupado pelo leito sólido (volume total do leito incluindo poros) e da altura mínima do leito. Explicação das fórmulas:
  • A massa de sólidos no leito relaciona-se com o volume total do leito V_{bed} por
m_s=(1-\varepsilon_{mf})\,\rho_s\,V_{bed},
onde
  • m_s é a massa de partículas (kg),
  • \varepsilon_{mf} é a porosidade no mf (adimensional),
  • \rho_s é a densidade das partículas (kg/m^3),
  • V_{bed} é o volume total do leito (m^3).
  • Assim isolamos V_{bed}:
V_{bed}=\frac{m_s}{(1-\varepsilon_{mf})\,\rho_s}.
Cálculo numérico:
(1-\varepsilon_{mf})=1-0{,}43=0{,}57.
V_{bed}=\frac{350}{0{,}57\cdot1200}=\frac{350}{684}=0{,}51111\\ \mathrm{m^3}.
  • A área da seção transversal do leito ( A) é a área do círculo de diâmetro D:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}60)^2}{4}=\pi\cdot0{,}09=0{,}282743\\ \mathrm{m^2}.
  • A altura mínima do leito é
h_{mf}=\frac{V_{bed}}{A}=\frac{0{,}51111}{0{,}282743}=1{,}807\\ \mathrm{m}.
Interpretação curta e incentivo: então, com 350 kg de partículas e porosidade 0,43, o leito ocupa cerca de 0{,}51\\ \mathrm{m^3}, o que dá uma altura inicial de aproximadamente 1{,}81\\ \mathrm{m}. Vai bem — já temos (a).

Passo 3

Cálculo da queda de pressão em mínima fluidização \Delta P_{mf}. Explicação da fórmula:
  • Em mínima fluidização a perda de carga ao longo do leito iguala ao peso aparente das partículas por unidade de área. A expressão é
\frac{\Delta P_{mf}}{h_{mf}}=(1-\varepsilon_{mf})(\rho_s-\rho_g)\,g,
onde \Delta P_{mf} é a queda de pressão ao longo da altura h_{mf}. Portanto
\Delta P_{mf}=(1-\varepsilon_{mf})(\rho_s-\rho_g)\,g\,h_{mf}.
  • Todas as variáveis já definidas: \rho_s e \rho_g são densidades, g gravidade, etc.
Cálculo numérico passo a passo:
\rho_s-\rho_g=1200-2{,}37=1197{,}63\\ \mathrm{kg/m^3}.
(1-\varepsilon_{mf})(\rho_s-\rho_g)=0{,}57\cdot1197{,}63=682{,}6491\\ \mathrm{kg/m^3}.
\frac{\Delta P_{mf}}{h_{mf}}=682{,}6491\cdot9{,}81=6696{,}78\\ \mathrm{Pa/m}.
\Delta P_{mf}=6696{,}78\cdot1{,}807=12101{,}1\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma prática, a queda de pressão em mínima fluidização é aproximadamente \,1{,}21\cdot10^{4}\\ \mathrm{Pa} (ou 12{,}1\\ \mathrm{kPa}).

Passo 4

Preparação para calcular a velocidade de mínima fluidização U_{mf}: apresentação da equação de Ergun e como a usamos.
  • A equação de Ergun para perda de carga em um leito de partículas (por unidade de comprimento) é, para partículas não necessariamente esféricas, escrita como
\frac{\Delta P}{L}=\frac{150\,(1-\varepsilon)^2}{\varepsilon^3}\frac{\mu\,U}{\varphi_S^{2}\,d_p^2}+\frac{1{,}75\,(1-\varepsilon)}{\varepsilon^3}\frac{\rho_g\,U^2}{\varphi_S\,d_p}.
Explicação dos termos:
  • \Delta P/L é a perda de carga por unidade de comprimento (Pa/m).
  • A primeira parcela (proporcional a U) representa o termo viscoso (arrasto viscoso).
  • A segunda parcela (proporcional a U^2) representa o termo inercial (arrasto de forma).
  • \varphi_S (esfericidade) aparece para corrigir a área específica das partículas: na prática a presença de \varphi_S divide o termo viscoso por \varphi_S^2 e o inercial por \varphi_S (essa forma é a aplicação usual para partículas com esfericidade \neq1).
  • d_p é o diâmetro característico (m), \mu viscosidade (Pa·s), \rho_g densidade do gás (kg/m^3), \varepsilon porosidade.
  • Em mínimo fluidização usamos \Delta P/L=(1-\varepsilon_{mf})(\rho_s-\rho_g)g (veja passo 3) e L=h_{mf}. Assim para encontrar U_{mf} definimos:
(1-\varepsilon_{mf})(\rho_s-\rho_g)g = \frac{150(1-\varepsilon_{mf})^2}{\varepsilon_{mf}^3}\frac{\mu\,U_{mf}}{\varphi_S^{2}d_p^2} + \frac{1{,}75(1-\varepsilon_{mf})}{\varepsilon_{mf}^3}\frac{\rho_g\,U_{mf}^2}{\varphi_S d_p}.
  • Para resolver numericamente organizamos como uma equação do tipo
B\,U_{mf}^2 + A\,U_{mf} - C=0,
onde
A=\frac{150(1-\varepsilon_{mf})^2\mu}{\varepsilon_{mf}^3\varphi_S^{2}d_p^2}, \quad B=\frac{1{,}75(1-\varepsilon_{mf})\rho_g}{\varepsilon_{mf}^3\varphi_S d_p}, \quad C=(1-\varepsilon_{mf})(\rho_s-\rho_g)g.
  • Resolveremos a equação quadrática pelo resultado positivo
U_{mf}=\frac{-A+\sqrt{A^2+4BC}}{2B}.

Passo 5

Cálculo numérico de A, B, C e solução da quadrática (mostro as contas com detalhe para que dê pra reproduzir na prova).
Primeiro relembrando valores numéricos:
\varepsilon_{mf}=0{,}43,\quad 1-\varepsilon_{mf}=0{,}57,\quad d_p=0{,}0001\\ \mathrm{m},
\varphi_S=0{,}86,\quad \mu=1{,}84\cdot10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, \quad \rho_g=2{,}37\\ \mathrm{kg/m^3}, \quad C=(1-\varepsilon_{mf})(\rho_s-\rho_g)g=6696{,}78\\ \mathrm{Pa/m}.
Cálculo de A:
A=\frac{150(1-\varepsilon_{mf})^2\mu}{\varepsilon_{mf}^3\varphi_S^{2}d_p^2}.
Numérico:
(1-\varepsilon_{mf})^2=0{,}57^2=0{,}3249, \quad \varepsilon_{mf}^3=0{,}43^3=0{,}079507, \quad \varphi_S^{2}=0{,}86^2=0{,}7396.
A=\frac{150\cdot0{,}3249\cdot(1{,}84\cdot10^{-5})}{0{,}079507\cdot0{,}7396\cdot(10^{-4})^2} =\frac{8{,}9744\cdot10^{-4}}{5{,}8752\cdot10^{-10}} \approx1{,}528\cdot10^{6}.
Cálculo de B:
B=\frac{1{,}75(1-\varepsilon_{mf})\rho_g}{\varepsilon_{mf}^3\varphi_S d_p}.
Numérico:
B=\frac{1{,}75\cdot0{,}57\cdot2{,}37}{0{,}079507\cdot0{,}86\cdot10^{-4}} =\frac{2{,}364075}{6{,}8316\cdot10^{-6}} \approx3{,}46\cdot10^{5}.
Já temos C do passo 3:
C=(1-\varepsilon_{mf})(\rho_s-\rho_g)g\approx6696{,}78\\ \mathrm{Pa/m}.
Agora a raiz da quadrática:
U_{mf}=\frac{-A+\sqrt{A^2+4BC}}{2B}.
Calculemos o discriminante:
A^2\approx(1{,}528\cdot10^{6})^2\approx2{,}334\cdot10^{12},
4BC\approx4\cdot(3{,}46\cdot10^{5})\cdot6696{,}78\approx9{,}27\cdot10^{9}.
\sqrt{A^2+4BC}\approx\sqrt{2{,}343\cdot10^{12}}\approx1{,}531\cdot10^{6}.
U_{mf}\approx\frac{-1{,}528\cdot10^{6}+1{,}531\cdot10^{6}}{2\cdot3{,}46\cdot10^{5}} =\frac{2{,}700}{6{,}92\cdot10^{5}}\approx0{,}00390\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade de mínima fluidização é aproximadamente U_{mf}\approx0{,}0039\\ \mathrm{m/s} (cerca de 3{,}9\\ \mathrm{mm/s}).

Passo 6

Verificação rápida de consistência (regime do escoamento) e comentário didático:
  • O número de Reynolds em mínima fluidização é
\mathrm{Re}_{mf}=\frac{\rho_g\,U_{mf}\,d_p}{\mu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}_{mf}=\frac{2{,}37\cdot0{,}00390\cdot0{,}0001}{1{,}84\cdot10^{-5}} \approx0{,}05.
Como \mathrm{Re}_{mf}\ll1, o escoamento no ponto de mínima fluidização é de baixa Reynolds (regime dominado pela viscosidade), o que era esperado para partículas muito pequenas ( 0{,}10\\ \mathrm{mm}). Isso também justifica por que o termo viscoso na equação de Ergun domina, embora tenhamos usado a equação completa (viscosa + inercial) para precisão.
Pequeno incentivo: ótimos resultados — altura e pressão coerentes e uma velocidade muito baixa, condizente com partículas finas e ar rarefeito.

Resposta

h_{mf}=1{,}807\\ \mathrm{m}
\Delta P_{mf}=1{,}21\cdot10^{4}\\ \mathrm{Pa}
U_{mf}=0{,}00390\\ \mathrm{m/s}

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