Deseja-se comprimir adiabaticamente 2,83 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} de ar a 29,4^{\circ} \mathrm{C} e 102,7 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2} (abs) até 311,6 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2} (abs). Dados: \gamma=1,31. Calcule a potência do compressor em processo adiabático com eficiência 75%

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a potência do compressor:
  • Vazão volumétrica de entrada: Q=2,83\\ \mathrm{m}^3/\min.
  • Temperatura na entrada: T_1=29,4^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão absoluta de entrada: P_1=102,7\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
  • Pressão absoluta de saída: P_2=311,6\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
  • Razão calor-específica: \gamma=1,31.
  • Eficiência isentrópica do compressor: \eta_c=75\% = 0,75.
O que é pedido: potência requerida pelo compressor no processo adiabático com a eficiência indicada (ou seja, potência real necessária).

Passo 2

Conversões e aproximações que vou usar (explicando por que):
  • Converter Q para \mathrm{m}^3/\mathrm{s} porque potência será em watts (J/s):
Q=\frac{2,83}{60}=0,047166\ldots\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\approx 0,04717\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Converter T_1 para kelvin:
T_1=29,4+273,15=302,55\\ \mathrm{K}.
  • Tomarei o ar como gás ideal e usarei a constante dos gases para o ar
R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Essa aproximação é padrão em problemas de termodinâmica de ar.

Passo 3

Calcular a vazão mássica usando a densidade do ar na entrada. Justificativa e fórmula:
  • Para gás ideal, a densidade na entrada é \rho_1=\dfrac{P_1}{R\,T_1}.
  • A vazão mássica é \dot{m}=\rho_1\,Q.
Cálculos (atenção às unidades: P_1 em Pa):
P_1=102,7\\ \mathrm{kN/m^2}=102700\\ \mathrm{Pa}, \qquad P_2=311,6\\ \mathrm{kN/m^2}=311600\\ \mathrm{Pa}.
\rho_1=\frac{102700}{287\cdot 302,55}=\frac{102700}{86831{,}85}\approx 1{,}1828\\ \mathrm{kg/m^3}.
\dot{m}=\rho_1\,Q \approx 1{,}1828\cdot 0{,}04717\approx 0{,}05578\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Calcular a temperatura de saída no processo isentrópico (ideal) e explicar a fórmula:
  • Para compressão isentrópica de gás ideal \displaystyle T_{2s}=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
    Aqui \,T_{2s} é a temperatura que o fluido teria se a compressão fosse reversível e adiabática (isentrópica).
Primeiro a razão de pressões:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{311600}{102700}\approx 3{,}0340.
O expoente é
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}31-1}{1{,}31}=\frac{0{,}31}{1{,}31}\approx 0{,}23664.
Logo
T_{2s}=302{,}55\left(3{,}0340\right)^{0{,}23664}\approx 393{,}5\\ \mathrm{K}.
(essa expressão vem da relação isentrópica P V^\gamma= const., combinada com T V^{\gamma-1}= const. ou diretamente das leis do gás ideal e da definição de entropia constante.)

Passo 5

Calcular o trabalho específico isentrópico por unidade de massa e explicar como obter a potência real:
  • Para gás ideal, trabalho específico ( por kg ) em compressão isentrópica é dado por
w_s = c_p\,(T_{2s}-T_1).
  • A eficiência isentrópica do compressor é definida como
\eta_c=\frac{w_s}{w_a},
onde w_a é o trabalho específico real (maior que w_s porque há irreversibilidades). Assim
w_a=\frac{w_s}{\eta_c}.
  • Precisamos de c_p. A relação entre c_p, R e \gamma é
c_p=\frac{\gamma R}{\gamma-1}.
Cálculo numérico:
c_p=\frac{1{,}31\cdot 287}{1{,}31-1}=\frac{1{,}31\cdot 287}{0{,}31}\approx 1212{,}81\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
\Delta T_{s}=T_{2s}-T_1\approx 393{,}5-302{,}55=90{,}95\\ \mathrm{K}.
w_s=c_p\,\Delta T_{s}\approx 1212{,}81\cdot 90{,}95\approx 110{.}3\times 10^{3}\\ \mathrm{J/kg}.
w_a=\frac{w_s}{\eta_c}=\frac{110{.}3\times 10^{3}}{0{,}75}\approx 147{.}1\times 10^{3}\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 6

Calcular a potência requerida (potência real) e interpretar o resultado:
  • Potência é \dot{W}=\dot{m}\,w_a.
Usando \dot{m}\approx 0{,}05578\\ \mathrm{kg/s} e w_a\approx 147{.}1\times 10^{3}\\ \mathrm{J/kg}:
\dot{W}\approx 0{,}05578\cdot 147{.}1\times 10^{3}\\ \mathrm{W}\approx 8205\\ \mathrm{W}\approx 8{,}21\\ \mathrm{kW}.
Comentário breve e motivador: então, mesmo com uma compressão adiabática ideal sendo mais “econômica”, as irreversibilidades (eficiência 75%) aumentam o trabalho necessário — por isso o valor real fica em torno de 8,2 kW. Você está indo bem; esses passos (densidade → vazão mássica → T2s pela relação isentrópica → cp e trabalho específico → potência) são exatamente o caminho que cai em provas.

Resposta

\dot{W}\approx 8{,}21\\ \mathrm{kW}

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