Determinar o diametro de uma partícula que apresenta uma velocidade que: terminal igual a 3,1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} que se encontra caindo em um fluido sabendo
Para a partícula: \boldsymbol{\rho}_{\boldsymbol{p}}=5,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \varphi=0,68
Para o fluido: \boldsymbol{\rho}_{\boldsymbol{f}}=1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \mathrm{e} \boldsymbol{\mu}=0,9 \mathrm{cP}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o diâmetro da partícula que apresenta velocidade terminal igual a 3,1\\ \mathrm{cm/s}, caindo em um fluido, dadas as propriedades abaixo.
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
Para a partícula: \rho_{p}=5,0\\ \mathrm{g/cm^{3}} e esfericidade \varphi=0,68.
Para o fluido: \rho_{f}=1,0\\ \mathrm{g/cm^{3}} e viscosidade dinâmica \mu=0,9\\ \mathrm{cP}.
Velocidade terminal: v_{t}=3,1\\ \mathrm{cm/s}.
O que se pede: o valor do diâmetro da partícula d (em unidades compatíveis).
Passo 2
Estratégia e por que ela funciona (explicação didática curta antes de calcular).
Quando uma partícula cai com velocidade terminal, o equilíbrio vertical é entre o peso efetivo (peso menos empuxo) e a força de arrasto do fluido. Escrevemos esse balanço de forças e a partir daí isolamos o coeficiente de arrasto C_D em termos do diâmetro d. Mas C_D depende do número de Reynolds \mathrm{Re} e da forma da partícula. Como a partícula não é esférica (\varphi=0,68), vamos usar a correlação de Ganser (uma correlação empírica amplamente usada para partículas com esfericidade conhecida) que dá C_D como função de um Reynolds modificado. Resolvemos a equação de equilíbrio por método iterativo (porque C_D e d aparecem acoplados).
Vou explicar cada fórmula passo a passo e o significado das variáveis quando aparecerem.
Passo 3
Balanço de forças e expressão que relaciona C_D e d.
Volume da partícula (assumindo que o diâmetro pedido é o diâmetro equivalente de volume): \;V=\dfrac{\pi}{6}d^{3}.
Área projetada (perpendicular à queda) assumida como a de esfera equivalente: \;A=\dfrac{\pi}{4}d^{2}.
d em \mathrm{cm}.
Essa fórmula mostra que, para equilíbrio, C_{D} é proporcional a d (lado esquerdo depende de C_D via correlação; lado direito dá C_D em função de d). Logo precisamos de uma correlação para C_D em função de \mathrm{Re} e da forma.
Passo 4
Número de Reynolds e correlação de Ganser (explicação do que é e como aplicar).
Definição do número de Reynolds (usado para caracterizar o regime de escoamento):
\mathrm{Re}=\frac{\rho_{f} v_{t} d}{\mu}.
Onde:
\rho_{f} é a densidade do fluido (\mathrm{g/cm^{3}}),
v_{t} é a velocidade terminal (\mathrm{cm/s}),
d é o diâmetro (\mathrm{cm}),
\mu é a viscosidade dinâmica (\mathrm{g/(cm\cdot s)}).
Observação de unidades:
1\\ \mathrm{cP}=0{,}01\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}. Então \mu=0{,}9\\ \mathrm{cP}=0{,}009\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}.
Correlação de Ganser (forma prática para partículas não esféricas):
Primeiro definem-se dois fatores de forma K_{1} e K_{2} a partir da esfericidade \varphi:
Essa expressão combina o termo viscoso (24/\mathrm{Re} tipo Stokes) corrigido para regime intermediário e um termo inercial para altas \mathrm{Re}. O K_{1} corrige o efeito da forma no regime viscoso e o K_{2} escala o arrasto de forma geral.
Passo 5
Conversões numéricas e cálculo dos parâmetros fixos.
Dados numéricos (convertidos para as unidades consistentes \mathrm{g/cm^{3}},\\ \mathrm{cm/s},\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}):
Plano: variando d calculamos \mathrm{Re}^{*}, obtemos C_{D,\text{Ganser}} pela fórmula e comparamos com C_{D,\text{bal}}=544{,}43\,d. Ajustamos d até que as duas expr. coincidam (método iterativo simples). Vou mostrar algumas iterações até convergir.
Passo 7
Iterações (mostrar cálculos detalhados em cada iteração — tópico “mastigado” para que você saiba repetir na prova).
Formato por linha: d (cm) \to\mathrm{Re}=344{,}444\,d\to\mathrm{Re}^{*}=1188{,}9\,d\toC_{D,\text{Ganser}} (pela fórmula) \toC_{D,\text{bal}}=544{,}43\,d.
Calcular C_{D,\text{Ganser}}:C_{D,\text{Ganser}}=K_{2}\Big[\frac{24}{\mathrm{Re}^{*}}\big(1+0{,}1118(\mathrm{Re}^{*})^{0{,}6567}\big)+\frac{0{,}4305}{1+3305/\mathrm{Re}^{*}}\Big].Avaliando numericamente dá C_{D,\text{Ganser}}\approx14{,}19.
C_{D,\text{bal}}=544{,}43\times0{,}01=5{,}44.
Comparação: C_{D,\text{Ganser}}(14{,}19) > C_{D,\text{bal}}(5{,}44) → chute muito pequeno.
Chute maior: d=0{,}02\\ \mathrm{cm}
\mathrm{Re}=6{,}889, \mathrm{Re}^{*}=23{,}778.
C_{D,\text{Ganser}}\approx8{,}57.
C_{D,\text{bal}}=10{,}89.
Agora C_{D,\text{Ganser}} < C_{D,\text{bal}} → entramos no lado oposto da raiz; a solução está entre 0{,}01 e 0{,}02.
Refinando: d=0{,}016\\ \mathrm{cm}
\mathrm{Re}=5{,}511, \mathrm{Re}^{*}=19{,}02.
C_{D,\text{Ganser}}\approx10{,}04.
C_{D,\text{bal}}=8{,}71.
Ainda C_{D,\text{Ganser}} > C_{D,\text{bal}} → solução maior que 0{,}016.
d=0{,}018\\ \mathrm{cm}
\mathrm{Re}=6{,}200, \mathrm{Re}^{*}=21{,}40.
C_{D,\text{Ganser}}\approx9{,}24.
C_{D,\text{bal}}=9{,}80.
Agora C_{D,\text{Ganser}} < C_{D,\text{bal}} → raiz entre 0{,}016 e 0{,}018.
Aproximação fina: d=0{,}017\\ \mathrm{cm}
\mathrm{Re}=5{,}856, \mathrm{Re}^{*}=20{,}21.
C_{D,\text{Ganser}}\approx9{,}62.
C_{D,\text{bal}}=9{,}2565.
C_{D,\text{Ganser}} > C_{D,\text{bal}} → solução um pouco maior que 0{,}017.
d=0{,}0175\\ \mathrm{cm}
\mathrm{Re}=6{,}028, \mathrm{Re}^{*}=20{,}81.
C_{D,\text{Ganser}}\approx9{,}434.
C_{D,\text{bal}}=9{,}5288.
Agora C_{D,\text{Ganser}} < C_{D,\text{bal}} → raiz entre 0{,}017 e 0{,}0175.
Mais refinamento: d=0{,}01737\\ \mathrm{cm} (teste)
Parabéns — deu trabalho, mas a lógica foi sempre usar o balanço de forças e uma correlação de arrasto adequada para partículas não esféricas. Se quiser, eu repito o processo supondo partícula esférica (comparação) ou mostro como programar essa iteração rapidamente.