Determinar o diametro de uma partícula que apresenta uma velocidade que: terminal igual a 3,1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} que se encontra caindo em um fluido sabendo
Para a partícula: \boldsymbol{\rho}_{\boldsymbol{p}}=5,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \varphi=0,68
Para o fluido: \boldsymbol{\rho}_{\boldsymbol{f}}=1,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \mathrm{e} \boldsymbol{\mu}=0,9 \mathrm{cP}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o diâmetro da partícula que apresenta velocidade terminal igual a 3,1\\ \mathrm{cm/s}, caindo em um fluido, dadas as propriedades abaixo.
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Para a partícula: \rho_{p}=5,0\\ \mathrm{g/cm^{3}} e esfericidade \varphi=0,68.
  • Para o fluido: \rho_{f}=1,0\\ \mathrm{g/cm^{3}} e viscosidade dinâmica \mu=0,9\\ \mathrm{cP}.
  • Velocidade terminal: v_{t}=3,1\\ \mathrm{cm/s}.
O que se pede: o valor do diâmetro da partícula d (em unidades compatíveis).

Passo 2

Estratégia e por que ela funciona (explicação didática curta antes de calcular).
Quando uma partícula cai com velocidade terminal, o equilíbrio vertical é entre o peso efetivo (peso menos empuxo) e a força de arrasto do fluido. Escrevemos esse balanço de forças e a partir daí isolamos o coeficiente de arrasto C_D em termos do diâmetro d. Mas C_D depende do número de Reynolds \mathrm{Re} e da forma da partícula. Como a partícula não é esférica ( \varphi=0,68), vamos usar a correlação de Ganser (uma correlação empírica amplamente usada para partículas com esfericidade conhecida) que dá C_D como função de um Reynolds modificado. Resolvemos a equação de equilíbrio por método iterativo (porque C_D e d aparecem acoplados).
Vou explicar cada fórmula passo a passo e o significado das variáveis quando aparecerem.

Passo 3

Balanço de forças e expressão que relaciona C_D e d.
  • Volume da partícula (assumindo que o diâmetro pedido é o diâmetro equivalente de volume): \;V=\dfrac{\pi}{6}d^{3}.
  • Área projetada (perpendicular à queda) assumida como a de esfera equivalente: \;A=\dfrac{\pi}{4}d^{2}.
  • Força peso efetiva: \;F_{g}=V(\rho_{p}-\rho_{f})g.
  • Força de arrasto: \;F_{D}=\dfrac{1}{2}C_{D}\rho_{f}A v_{t}^{2}.
No regime de velocidade terminal: F_{g}=F_{D}. Substituindo V e A e cancelando \pi fica:
\frac{1}{6}d^{3}(\rho_{p}-\rho_{f})g=\frac{1}{8}C_{D}\rho_{f}d^{2}v_{t}^{2}.
Isolando C_{D} obtemos:
\boxed{\,C_{D}=\frac{4}{3}\,\frac{(\rho_{p}-\rho_{f})g\,d}{\rho_{f}v_{t}^{2}}\,}
Aqui:
  • \rho_{p} e \rho_{f} estão em \mathrm{g/cm^{3}},
  • g em \mathrm{cm/s^{2}},
  • v_{t} em \mathrm{cm/s},
  • d em \mathrm{cm}.
    Essa fórmula mostra que, para equilíbrio, C_{D} é proporcional a d (lado esquerdo depende de C_D via correlação; lado direito dá C_D em função de d). Logo precisamos de uma correlação para C_D em função de \mathrm{Re} e da forma.

Passo 4

Número de Reynolds e correlação de Ganser (explicação do que é e como aplicar).
Definição do número de Reynolds (usado para caracterizar o regime de escoamento):
\mathrm{Re}=\frac{\rho_{f} v_{t} d}{\mu}.
Onde:
  • \rho_{f} é a densidade do fluido ( \mathrm{g/cm^{3}}),
  • v_{t} é a velocidade terminal ( \mathrm{cm/s}),
  • d é o diâmetro ( \mathrm{cm}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{g/(cm\cdot s)}).
Observação de unidades:
  • 1\\ \mathrm{cP}=0{,}01\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}. Então \mu=0{,}9\\ \mathrm{cP}=0{,}009\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}.
Correlação de Ganser (forma prática para partículas não esféricas):
Primeiro definem-se dois fatores de forma K_{1} e K_{2} a partir da esfericidade \varphi:
K_{1}=\left(\tfrac{1}{3}\,\varphi^{-1}+\tfrac{2}{3}\,\varphi^{-1/2}\right)^{-1}, \qquad K_{2}=10^{\,1{,}8148\left(-\log_{10}\varphi\right)^{0{,}5743}}.
Depois define-se o Reynolds modificado \mathrm{Re}^{*}=\mathrm{Re}\,K_{1}\,K_{2}.
A correlação dá C_{D} como:
\boxed{\,C_{D}=K_{2}\left[\frac{24}{\mathrm{Re}^{*}}\left(1+0{,}1118\,\mathrm{Re}^{*\,0{,}6567}\right)+\frac{0{,}4305}{1+3305/\mathrm{Re}^{*}}\right]\,}
Essa expressão combina o termo viscoso ( 24/\mathrm{Re} tipo Stokes) corrigido para regime intermediário e um termo inercial para altas \mathrm{Re}. O K_{1} corrige o efeito da forma no regime viscoso e o K_{2} escala o arrasto de forma geral.

Passo 5

Conversões numéricas e cálculo dos parâmetros fixos.
Dados numéricos (convertidos para as unidades consistentes \mathrm{g/cm^{3}},\\ \mathrm{cm/s},\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}):
  • \rho_{p}=5{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • \rho_{f}=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • \Delta\rho=\rho_{p}-\rho_{f}=4{,}0\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • v_{t}=3{,}1\\ \mathrm{cm/s}.
  • \mu=0{,}9\\ \mathrm{cP}=0{,}009\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}.
  • g=981\\ \mathrm{cm/s^{2}} (aproximação usual).
  • Esfericidade: \varphi=0{,}68.
Cálculo de K_{1} e K_{2} (usando as fórmulas dadas):
K_{1}=\left(\tfrac{1}{3}\cdot\frac{1}{\varphi}+\tfrac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{\varphi}}\right)^{-1}.
Substituindo \varphi=0{,}68 e calculando com detalhe:
\frac{1}{\varphi}=1{,}470588,\qquad \frac{1}{\sqrt{\varphi}}=1{,}212678,
\tfrac{1}{3}\cdot1{,}470588=0{,}490196,\qquad \tfrac{2}{3}\cdot1{,}212678=0{,}808452,
soma =1{,}298648, portanto
K_{1}=1/1{,}298648\approx0{,}7700.
Cálculo de K_{2}:
-\log_{10}\varphi\approx0{,}167317,\qquad (-\log_{10}\varphi)^{0{,}5743}\approx0{,}3584,
1{,}8148\times0{,}3584\approx0{,}6510,\qquad K_{2}=10^{0{,}6510}\approx4{,}48.
Resumo: K_{1}\approx0{,}7700, K_{2}\approx4{,}48.

Passo 6

Expressão prática que vamos usar para iterar.
Temos duas expressões para C_{D}:
(1) da condição de equilíbrio:
C_{D}=\frac{4}{3}\frac{\Delta\rho\,g\,d}{\rho_{f}\,v_{t}^{2}}.
Substituindo valores constantes (exceto d):
\Delta\rho=4{,}0,\\ g=981,\\ \rho_{f}=1{,}0,\\ v_{t}=3{,}1
\Rightarrow C_{D}\approx\frac{4}{3}\cdot\frac{4{,}0\cdot981\cdot d}{1{,}0\cdot(3{,}1)^{2}} =\underbrace{544{,}433\ldots}_{\displaystyle\equiv K_{\text{bal}}}\; d.
Ou seja:
\boxed{\,C_{D}\approx544{,}43\,d\quad(\text{com }d\text{ em cm})\,.}
(2) da correlação de Ganser:
C_{D}=C_{D,\text{Ganser}}(\mathrm{Re}^{*}),\quad \mathrm{Re}^{*}=\mathrm{Re}K_{1}K_{2},\quad \mathrm{Re}=\frac{\rho_{f}v_{t}d}{\mu}.
Substituição conveniente para \mathrm{Re} com os números do problema:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}0\cdot3{,}1\cdot d}{0{,}009}=344{,}444\;d.
Portanto
\mathrm{Re}^{*}=344{,}444\;d\cdot K_{1}K_{2}\approx344{,}444\;d\cdot(0{,}7700)(4{,}48)\approx1188{,}9\;d.
Plano: variando d calculamos \mathrm{Re}^{*}, obtemos C_{D,\text{Ganser}} pela fórmula e comparamos com C_{D,\text{bal}}=544{,}43\,d. Ajustamos d até que as duas expr. coincidam (método iterativo simples). Vou mostrar algumas iterações até convergir.

Passo 7

Iterações (mostrar cálculos detalhados em cada iteração — tópico “mastigado” para que você saiba repetir na prova).
Formato por linha: d (cm) \to \mathrm{Re}= 344{,}444\,d \to \mathrm{Re}^{*}=1188{,}9\,d \to C_{D,\text{Ganser}} (pela fórmula) \to C_{D,\text{bal}}=544{,}43\,d.
  1. Chute inicial pequeno: d=0{,}01\\ \mathrm{cm} (0,1 mm)
  • \mathrm{Re}=344{,}444\times0{,}01=3{,}444
  • \mathrm{Re}^{*}=1188{,}9\times0{,}01=11{,}889
  • Calcular C_{D,\text{Ganser}}: C_{D,\text{Ganser}}=K_{2}\Big[\frac{24}{\mathrm{Re}^{*}}\big(1+0{,}1118(\mathrm{Re}^{*})^{0{,}6567}\big)+\frac{0{,}4305}{1+3305/\mathrm{Re}^{*}}\Big].Avaliando numericamente dá C_{D,\text{Ganser}}\approx14{,}19.
  • C_{D,\text{bal}}=544{,}43\times0{,}01=5{,}44.
  • Comparação: C_{D,\text{Ganser}}(14{,}19) > C_{D,\text{bal}}(5{,}44) → chute muito pequeno.
  1. Chute maior: d=0{,}02\\ \mathrm{cm}
  • \mathrm{Re}=6{,}889, \mathrm{Re}^{*}=23{,}778.
  • C_{D,\text{Ganser}}\approx8{,}57.
  • C_{D,\text{bal}}=10{,}89.
  • Agora C_{D,\text{Ganser}} < C_{D,\text{bal}} → entramos no lado oposto da raiz; a solução está entre 0{,}01 e 0{,}02.
  1. Refinando: d=0{,}016\\ \mathrm{cm}
  • \mathrm{Re}=5{,}511, \mathrm{Re}^{*}=19{,}02.
  • C_{D,\text{Ganser}}\approx10{,}04.
  • C_{D,\text{bal}}=8{,}71.
  • Ainda C_{D,\text{Ganser}} > C_{D,\text{bal}} → solução maior que 0{,}016.
  1. d=0{,}018\\ \mathrm{cm}
  • \mathrm{Re}=6{,}200, \mathrm{Re}^{*}=21{,}40.
  • C_{D,\text{Ganser}}\approx9{,}24.
  • C_{D,\text{bal}}=9{,}80.
  • Agora C_{D,\text{Ganser}} < C_{D,\text{bal}} → raiz entre 0{,}016 e 0{,}018.
  1. Aproximação fina: d=0{,}017\\ \mathrm{cm}
  • \mathrm{Re}=5{,}856, \mathrm{Re}^{*}=20{,}21.
  • C_{D,\text{Ganser}}\approx9{,}62.
  • C_{D,\text{bal}}=9{,}2565.
  • C_{D,\text{Ganser}} > C_{D,\text{bal}} → solução um pouco maior que 0{,}017.
  1. d=0{,}0175\\ \mathrm{cm}
  • \mathrm{Re}=6{,}028, \mathrm{Re}^{*}=20{,}81.
  • C_{D,\text{Ganser}}\approx9{,}434.
  • C_{D,\text{bal}}=9{,}5288.
  • Agora C_{D,\text{Ganser}} < C_{D,\text{bal}} → raiz entre 0{,}017 e 0{,}0175.
  1. Mais refinamento: d=0{,}01737\\ \mathrm{cm} (teste)
  • \mathrm{Re}=344{,}444\times0{,}01737\approx5{,}982.
  • \mathrm{Re}^{*}\approx1188{,}9\times0{,}01737\approx20{,}63.
  • Avaliando a fórmula de Ganser com \mathrm{Re}^{*}\approx20{,}63 obtém-se C_{D,\text{Ganser}}\approx9{,}48.
  • C_{D,\text{bal}}=544{,}43\times0{,}01737\approx9{,}46.
  • A diferença entre as duas é muito pequena (ordem 10^{-2}), indicando boa convergência.
Essas iterações mostram que a solução converge para um valor próximo de d\approx0{,}01737\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Interpretação final, conversões e arredondamento recomendados para prova.
O resultado encontrado:
d\approx0{,}01737\\ \mathrm{cm}.
Convertendo para unidades mais usuais:
d\approx0{,}1737\\ \mathrm{mm}\approx173{,}7\\ \mu\mathrm{m}.
Para uma resposta prática na prova pode-se reportar, com número significativo coerente com dados do enunciado, por exemplo:
d\approx0{,}0174\\ \mathrm{cm}=0{,}174\\ \mathrm{mm}=174\\ \mu\mathrm{m}.
Parabéns — deu trabalho, mas a lógica foi sempre usar o balanço de forças e uma correlação de arrasto adequada para partículas não esféricas. Se quiser, eu repito o processo supondo partícula esférica (comparação) ou mostro como programar essa iteração rapidamente.

Resposta

d\approx0{,}0174\\ \mathrm{cm}=0{,}174\\ \mathrm{mm}=174\\ \mu\mathrm{m}

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