5.5. Exercício 5: Determinação do Tamanho Amostral Necessário (n Ideal)

Aplicação: Planejamento analítico e otimização econômica. O custo das análises (custo analítico) exige que se calcule o tamanho da amostra (n) mínimo que garanta a precisão desejada (Margem de Erro, E) para o investimento.

Dados:

Um analista deseja estimar o teor médio de proteína em um concentrado de soja com uma Margem de Erro (E) de no máximo 0.5 \%, com 95 \% de confiança. Estudos de controle de processos anteriores sugerem que o desvio padrão populacional ( \sigma ) é de aproximadamente 1.8 \%.
Objetivo: Calcular o tamanho amostral (n) mínimo necessário para atingir essa precisão.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o tamanho amostral mínimo n que garanta uma Margem de Erro (E) de no máximo 0{,}5\% para a estimativa da média do teor de proteína, com nível de confiança de 95\%. Informações dadas:
E = 0{,}5\% ,\qquad \sigma = 1{,}8\% ,\qquad \text{confiança} = 95\%.ç
Não há outras perguntas: só calcular o menor n inteiro que satisfaça essas exigências.

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática): quando a variância populacional é conhecida ( \sigma dado), a Margem de Erro para um intervalo de confiança para a média é dada por
E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
O que cada símbolo significa:
  • E é a Margem de Erro desejada (distância máxima entre estimador amostral e verdadeira média).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança; para 95\% temos \alpha=0{,}05 e usamos z_{0{,}025}.
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui 1{,}8\%).
  • n é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Nós queremos isolar n na fórmula. Algebricamente, reescrevemos:
E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
multiplicando ambos os lados por \sqrt{n} e dividindo por E obtemos
\sqrt{n} = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{E}.
Elevando ao quadrado:
n = \left(z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{E}\right)^{2}.
Essa é a fórmula que dá o n ideal quando \sigma é conhecido.

Passo 3

Agora precisamos do valor numérico de z_{\alpha/2} para 95\% de confiança. Como 95\% significa \alpha=0{,}05, temos \alpha/2 = 0{,}025. O quantil da normal padrão que deixa 2{,}5\% na cauda superior é
z_{0{,}025} = 1{,}96.
(Esse valor vem da tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística; é exercício padrão decorar/consultar z=1{,}96 para 95\%.)

Passo 4

Agora substituímos os valores na fórmula
n = \left( z_{0{,}025}\cdot\frac{\sigma}{E} \right)^{2} = \left(1{,}96\cdot\frac{1{,}8}{0{,}5}\right)^{2}.
Fazendo as contas passo a passo (sempre explicando para você poder repetir na prova sem calculadora):
  • Primeiro calcule 1{,}96\cdot 1{,}8. Podemos multiplicar:
1{,}96\times 1{,}8 = 3{,}528.
  • Depois divida por E=0{,}5:
\frac{3{,}528}{0{,}5} = 7{,}056.
  • Finalmente, eleve ao quadrado:
n = (7{,}056)^{2} = 49{,}787136\\ (\text{aproximadamente}).

Passo 5

Interpretação do resultado e arredondamento: o valor teórico é n\approx 49{,}787. Como n deve ser um número inteiro de observações e precisamos garantir que a margem de erro seja no máximo 0{,}5\%, devemos sempre arredondar para cima (porque arredondar para baixo poderia violar a condição). Logo o menor n inteiro que atende é
n = 50.

Passo 6

Checagem rápida (sempre bom confirmar para tomar confiança): com n=50,
E_{\text{real}} = z_{0{,}025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{50}} = 1{,}96\cdot\frac{1{,}8}{\sqrt{50}}.
Calculando \sqrt{50}\approx 7{,}0711, então
E_{\text{real}} \approx \frac{3{,}528}{7{,}0711} \approx 0{,}499,
ou seja, E_{\text{real}}\lesssim 0{,}5\%, portanto n=50 é suficiente. Se tivéssemos usado n=49, então \sqrt{49}=7 e
E = \frac{3{,}528}{7} \approx 0{,}504 > 0{,}5,
logo n=49 seria insuficiente — confirma que arredondar para cima era necessário.

Passo 7

Observações e dica prática (para a prova): usamos z porque o enunciado deu \sigma populacional. Se o problema disser que \sigma é desconhecido e a amostra for pequena, aí sim teríamos que usar a distribuição t e o processo fica um pouco diferente (pedindo uma suposição inicial sobre n e fazer iterações). Mas aqui, com \sigma=1{,}8\% conhecido, o procedimento direto com z é o correto e rápido — ótimo para prova quando você tem pouco tempo.

Resposta

n=50

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