5.5. Exercício 5: Determinação do Tamanho Amostral Necessário (n Ideal)
Aplicação: Planejamento analítico e otimização econômica. O custo das análises (custo analítico) exige que se calcule o tamanho da amostra (n) mínimo que garanta a precisão desejada (Margem de Erro, E) para o investimento.
Dados:
Um analista deseja estimar o teor médio de proteína em um concentrado de soja com uma Margem de Erro (E) de no máximo
, com
de confiança. Estudos de controle de processos anteriores sugerem que o desvio padrão populacional (
) é de aproximadamente
.
Objetivo: Calcular o tamanho amostral (n) mínimo necessário para atingir essa precisão.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o tamanho amostral mínimo
que garanta uma Margem de Erro (E) de no máximo
para a estimativa da média do teor de proteína, com nível de confiança de
. Informações dadas:
Não há outras perguntas: só calcular o menor
inteiro que satisfaça essas exigências.
Passo 2
Explicando a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática): quando a variância populacional é conhecida (
dado), a Margem de Erro para um intervalo de confiança para a média é dada por
O que cada símbolo significa:
-
é a Margem de Erro desejada (distância máxima entre estimador amostral e verdadeira média). -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança; para temos e usamos . -
é o desvio padrão populacional (aqui ). -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Nós queremos isolar
na fórmula. Algebricamente, reescrevemos:
multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
obtemos
Elevando ao quadrado:
Essa é a fórmula que dá o
ideal quando
é conhecido.
Passo 3
Agora precisamos do valor numérico de
para
de confiança. Como
significa
, temos
. O quantil da normal padrão que deixa
na cauda superior é
(Esse valor vem da tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística; é exercício padrão decorar/consultar
para
.)
Passo 4
Agora substituímos os valores na fórmula
Fazendo as contas passo a passo (sempre explicando para você poder repetir na prova sem calculadora):
- Primeiro calcule
. Podemos multiplicar:
- Depois divida por
:
- Finalmente, eleve ao quadrado:
Passo 5
Interpretação do resultado e arredondamento: o valor teórico é
. Como
deve ser um número inteiro de observações e precisamos garantir que a margem de erro seja no máximo
, devemos sempre arredondar para cima (porque arredondar para baixo poderia violar a condição). Logo o menor
inteiro que atende é
Passo 6
Checagem rápida (sempre bom confirmar para tomar confiança): com
,
Calculando
, então
ou seja,
, portanto
é suficiente. Se tivéssemos usado
, então
e
logo
seria insuficiente — confirma que arredondar para cima era necessário.
Passo 7
Observações e dica prática (para a prova): usamos
porque o enunciado deu
populacional. Se o problema disser que
é desconhecido e a amostra for pequena, aí sim teríamos que usar a distribuição
e o processo fica um pouco diferente (pedindo uma suposição inicial sobre
e fazer iterações). Mas aqui, com
conhecido, o procedimento direto com
é o correto e rápido — ótimo para prova quando você tem pouco tempo.